高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置精品课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置精品课后作业题，共7页。

1．已知圆A与圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为( )
A．6 cm或14 cm B．10 cm
C．14 cm D．无解
A [∵圆A与圆B相切包括外切与内切，设圆B的半径为r cm，
∴10＝4＋r或10＝r－4，即r＝6或14.]
2．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( )
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
C [圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，半径为1，圆x2＋y2＋4y＝0的圆心为(0，－2)，半径为2，其圆心距为 eq \r(5) .∵2－1< eq \r(5) <2＋1，∴两圆相交．]
3．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [显然两圆心的距离d＝5.
∵两圆外切，∴r＋2＝5，∴r＝3.]
4．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为( )
A． eq \f(3\r(5),5) B．4 C． eq \f(6\r(5),5) D． eq \f(12\r(5),5)
D [两圆方程相减，得直线MN的方程为x－2y＋4＝0.圆x2＋y2＋2x－8＝0的标准形式为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN的距离d＝ eq \f(3,\r(5)) ，所以线段MN的长为2 eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(5))))\s\up12(2)) ＝ eq \f(12\r(5),5) .故选D.]
5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D.(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
D [由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得 eq \r(a2＋9) ＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.]
6．过点P(2，3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为( )
A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0
B [弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的交线，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(13,4) .根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为(x－1)2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2))) eq \s\up12(2) － eq \f(13,4) －(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0.]
7．已知C，D是圆A：(x＋1)2＋y2＝1与圆B：x2＋(y－2)2＝4的公共点，则△BCD的面积为( )
A． eq \f(4,5) B． eq \f(8,5) C． eq \f(4\r(5),5) D． eq \f(8\r(5),5)
B [C，D是圆A：(x＋1)2＋y2＝1与圆B：x2＋(y－2)2＝4的公共点，可得CD的方程为2x＋4y＝0，即x＋2y＝0.
圆B：x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为2，
B到CD的距离为 eq \f(4,\r(12＋22)) ＝ eq \f(4,\r(5)) ，
∴|CD|＝2 eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,\r(5))))\s\up12(2)) ＝ eq \f(4,\r(5)) .
故△BCD的面积为 eq \f(1,2) × eq \f(4,\r(5)) × eq \f(4,\r(5)) ＝ eq \f(8,5) .]
8．以两圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,5))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(6,5))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(4,5)
D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,5))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(6,5))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(4,5)
B [C1：(x＋2)2＋y2＝3，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，直线C1C2的方程为x＋y＋2＝0.公共弦所在直线方程为x－y＝0.
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋2＝0，,x－y＝0)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.))
故圆心为(－1，－1)，结合选项，选B.]
9．以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程是_________________________．
(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169 [圆x2＋y2＝64的圆心为(0，0)，半径r′＝8，∴圆心距d＝ eq \r(32＋42) ＝5.设所求圆半径为r，
则|r－r′|＝d，∴|r－8|＝5，∴r＝3或r＝13.
∴圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169.]
10．如图，已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点A( eq \r(2) ，0)，与直线y＝2 eq \r(2) x相切于点B.
(1)求圆M的方程；
(2)圆M和圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，求线段PQ的长度．
解 (1)已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点A( eq \r(2) ，0)，设圆心M( eq \r(2) ，b)，b＞0，则圆M的方程为(x－ eq \r(2) )2＋(y－b)2＝b2.
由于该圆M与直线y＝2 eq \r(2) x相切于点B，故有 eq \f(|2\r(2)×\r(2)－b|,\r(8＋1)) ＝b，求得b＝1，
故圆M的方程为(x－ eq \r(2) )2＋(x－1)2＝1.
(2)∵圆M和圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，把两个圆的方程相减，可得PQ的方程为2 eq \r(2) x＋2y－3＝0.
由于点O到直线PQ的距离为d＝ eq \f(|0＋0－3|,\r(8＋4)) ＝ eq \f(\r(3),2) ，故弦长|PQ|＝2 eq \r(12－（\f(\r(3),2)）2) ＝2× eq \f(1,2) ＝1.
11．若圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．x＋y＝0 B．x＋y＝2
C．x－y＝2 D．y＝x＋2
D [因为kC1C2＝－1，C2C1的中点为(－1，1)，所以C2C1的垂直平分线即为所求直线l，其方程为y＝x＋2.]
12．(多选题)(2020·江苏镇江市高一期末)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，则( )
A． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ)) 的最小值为1
B． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ)) 的最小值为2
C．两个圆的圆心所在的直线斜率为 eq \f(3,4)
D．两个圆的圆心所在的直线斜率为 eq \f(4,3)
BC [圆C1：x2＋y2＝1的圆心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0)) ，半径为1；
圆C2的标准方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－4)) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－3)) eq \s\up12(2) ＝4，圆心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，3)) ，半径为2.
当C1、P、Q和C2按照该顺序四点共线时， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ)) 取得最小值，为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(C1C2)) －2－1＝ eq \r(42＋32) －3＝2，选项B正确；
两个圆心所在的直线斜率为 eq \f(3－0,4－0) ＝ eq \f(3,4) ，选项C正确．故选B、C.]
13．(多空题)已知圆M：x2＋y2＝10和圆N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为________________；过两圆交点，且面积最小的圆的方程为____________________．
x＋y－2＝0 (x－1)2＋(y－1)2＝8 [设两圆交点为A，B，则以AB为直径的圆就是所求的圆．直线AB的方程为x＋y－2＝0.
两圆圆心连线的方程为x－y＝0.
解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,x－y＝0，)) 得所求圆的圆心坐标为(1，1).
圆心M(0，0)到直线AB的距离为d＝ eq \r(2) ，
弦AB的长为|AB|＝2 eq \r(（\r(10)）2－（\r(2)）2) ＝4 eq \r(2) ，所以所求圆的半径为2 eq \r(2) .
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8.]
14．已知两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0(k<50).当两圆有下列位置关系时，分别确定k的取值范围：
(1)外切；(2)内切；(3)相交；(4)内含；(5)外离．
解 将两圆的方程化为标准方程，得
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1；
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
则圆C1的圆心坐标C1(－2，3)，半径r1＝1，
圆C2的圆心坐标C2(1，7)，半径r2＝ eq \r(50－k) .
从而圆心距d＝ eq \r(（－2－1）2＋（3－7）2) ＝5.
(1)当两圆外切时，d＝r1＋r2，即1＋ eq \r(50－k) ＝5，
解得k＝34.
(2)当两圆内切时，d＝|r1－r2|，即|1－ eq \r(50－k) |＝5，解得k＝14.
(3)当两圆相交时，|r1－r2|即|1－ eq \r(50－k) |(4)当两圆内含时，d<|r1－r2|，即|1－ eq \r(50－k) |>5，
解得k<14.故实数k的取值范围是(－∞，14).
(5)当两圆外离时，d>r1＋r2，即1＋ eq \r(50－k) <5，
解得k>34.又k<50，故实数k的取值范围是(34，50).