人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式课后复习题

第二章　2.3.1、2.3.2

A级——基础过关练

1．已知直线l1：Ax＋3y＋C＝0与l2：2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为(　　)

A．4 B．－4

C．4或－4 D．与A的取值有关

【答案】B　【解析】因为两条直线的交点在y轴上，且直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点是，所以点在直线Ax＋3y＋C＝0上，则A×0＋3×＋C＝0，解得C＝－4.

2．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是(　　)

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B　【解析】因为|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，所以三角形为等腰三角形．

3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是(　　)

A．2 B．3＋2

C．6＋3 D．6＋

【答案】C　【解析】|AB|＝＝3，|BC|＝＝3，|AC|＝＝3，则△ABC的周长为6＋3.

4．过两条直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　)

A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0

C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0

【答案】B　【解析】由得交点(－1,4)．因为所求直线与3x＋y－1＝0垂直，所以所求直线斜率k＝，所以y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0.

5．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________.

【答案】　【解析】kAB＝＝b－a＝1，所以|AB|＝＝.

6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝________.

【答案】2　【解析】设A(x,0)，B(0，y)，因为AB的中点是P(2，－1)，所以＝2，＝－1.所以x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)．所以|AB|＝＝2.

7．若关于x，y的二元一次方程组有无穷多组解，则m的取值为________．

【答案】2　【解析】关于x，y的二元一次方程组有无穷多组解，所以直线mx＋4y＝m＋2与直线x＋my＝m重合，所以＝＝，解得m＝2，即m的取值为2.

8．已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a,2)，且直线l与直线3x＋4y－5＝0垂直，则|AB|的值为__________．

【答案】　【解析】kAB＝，又直线3x＋4y－5＝0的斜率为－，则×＝－1，解得a＝.所以|AB|＝＝.

9．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若B点的坐标为(1,2)．

(1)求直线AC的方程；

(2)求A，C两点间的距离．

解：(1)由得A(－1,0)．

又kAB＝＝1，x轴为∠A的平分线，

所以kAC＝－1.

所以直线AC的方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋1＝0.

(2)因为BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，

所以kBC＝－2.

所以直线BC的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.

由解得C(5，－6)．

所以|AC|＝＝6.

10．平行四边形ABCD的一组邻边所在直线的方程分别为x－2y－1＝0与2x＋3y－9＝0，对角线的交点坐标为(2,3)．

(1)求已知两条直线的交点坐标；

(2)求此平行四边形另两边所在直线的方程．

解：(1)由解得

故两条直线的交点坐标是(3,1)．

(2)由(1)得已知两条直线的交点坐标为(3,1)，对角线的交点坐标为(2,3)，因此与点(3,1)相对的一个顶点为(1,5)．

由平行四边形的性质得另两边与已知两边分别平行，

所以另两边所在直线方程分别是

y－5＝－(x－1)与y－5＝(x－1)，

即2x＋3y－17＝0与x－2y＋9＝0.

B级——能力提升练

11．已知直线2x＋my－1＝0与直线3x－2y＋n＝0垂直，垂足为(2，p)，则p－m－n的值为(　　)

A．－6 B．6

C．4 D．10

【答案】C　【解析】因为直线2x＋my－1＝0与直线3x－2y＋n＝0垂直，所以2×3＋(－2)m＝0，解得m＝3.由垂足在两条直线上可得解得p＝－1，n＝－8，所以p－m－n＝4.

12．(多选)两条直线(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有(　　)

A．－3 B．－2

C．－1 D．0

【答案】ABD　【解析】由题知，三条直线相交于同一个点时，此时m＝0，此时不能构成三角形；直线(m＋2)x－y＋m＝0，整理得m(x＋1)＋(2x－y)＝0，由解得即直线(m＋2)x－y＋m＝0经过定点(－1，－2)，当直线(m＋2)x－y＋m＝0的斜率k＝m＋2＝0，即m＝－2时，此时直线y＝－2，x＋y＝0与x轴不能构成三角形；当直线(m＋2)x－y＋m＝0与直线x＋y＝0平行时，即m＝－3时，三条直线不能构成三角形．综上，两直线(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0与x轴相交不能构成三角形的m的取值为0，－2或－3.

13．已知直线l1：a1x＋b1y＝1和直线l2：a2x＋b2y＝1相交于点P(2,3)，则经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是____________．

【答案】2x＋3y＝1　【解析】由题意得P(2,3)在直线l1和l2上，所以有则点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的坐标是方程2x＋3y＝1的解，所以经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是2x＋3y＝1.

14．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于点B，且|AB|＝5，则直线l1的方程为____________．

【答案】x＝1或3x＋4y＋1＝0　【解析】由于B在l上，可设B点坐标为(x0，－2x0＋6)．由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，化简得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.当x0＝1时，AB的方程为x＝1；当x0＝5时，AB的方程为3x＋4y＋1＝0.综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.

15．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值．

解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示．

因为正三角形ABC边长为a，

所以B，C，A.

设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2

＝x2＋2＋2＋y2＋2＋y2

＝3x2＋3y2－ay＋

＝3x2＋32＋a2≥a2，

当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立，

故所求最小值为a2，此时点P的坐标为，是正三角形ABC的中心．

16．在△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

证明：以边BC所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示．

设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)．

因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，

|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，

所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，

|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，

所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．

C级——探究创新练

17．已知直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0，则直线l1与l2的交点坐标为__________；过直线l1与l2的交点且与直线x－y－1＝0平行的直线方程为____________．

【答案】(2,3)　x－y＋1＝0　【解析】由解得所以交点坐标为(2,3)．∵所求直线与直线x－y－1＝0平行，则所求直线的斜率为1，由点斜式方程可得y－3＝1×(x－2)，整理得x－y＋1＝0，∴直线方程为x－y＋1＝0.

18．试在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等．

解：由直线x－y＋4＝0，得y＝x＋4，点P在该直线上，

所以可设P点的坐标为(a，a＋4)．

由已知|PM|＝|PN|，

所以

＝，

即＝.

所以(a＋2)2＋(a＋8)2＝(a－4)2＋(a－2)2，

解得a＝－.

从而a＋4＝－＋4＝.

所以P.