数学选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式综合训练题

2.3 直线的交点与距离公式（精讲）

考点一 直线的交点

【例1-1】（2022·贵州·高二学业考试）直线与直线的交点坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由解得，则直线与直线的交点坐标为.故选：A.

【例1-2】（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，

由，得，即和的交点为，

因为直线过点，所以，得，所以所求直线方程为，

故选：D

【例1-3】（2022·江苏·高二）直线x+ky=0和2x+3y+8=0的交点为A，且A在直线x-y-1=0上，则k的值是（       ）

A．- B． C．2 D．-2

【答案】A

【解析】由，解得 ，即两直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点坐标为A(-1，-2)．

∵直线x+ky=0，2x+3y+8=0 和x-y-1=0交于一点A，∴-1-2k=0，∴k=-，故选；A．

【例1-4】（2022·全国·高二专题练习）已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为____．

【答案】

【解析】当，直线和平行，不满足题意，

故，此时联立方程，解得，

因为交点在第二象限，所以，解得，故实数的取值范围为．故答案为：

【一隅三反】

1．（2022·江苏·高二专题练习）直线与直线的交点坐标是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，可得，则两直线交点坐标为故选：A

2．（2022·江苏·高二）经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线的一般式方程为______．

【答案】

【解析】由解得，故交点坐标为，由平行于直线可得斜率为1，

故方程为，化为一般方程为.故答案为：.

3．（2022·江苏·高二）经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为_______．

【答案】

【解析】由，解得，即直线和的交点坐标为，

设与直线垂直的直线方程为，则，解得，

所以直线方程为；故答案为：

考点二 直线的三种距离

【例2-1】（1）（2021·福建三明·高二期中）已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（       ）

A． B． C． D．

（2）（2022·江苏宿迁·高二期末）直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（       ）

A．2 B． C． D．4

【答案】（1）D（2）B

【解析】（1）联立方程，解得，所以，所以

故选：D

（2）因为与的交点坐标为

所以，

当时， ，所以的最大值是，故选：B.

【例2-2】（1）（2022·海南·海口市琼山华侨中学高二阶段练习）直线与直线交于点，则点到直线的距离为（       ）

A． B． C． D．

（2）（2022·湖南·周南中学高二期末）已知点在直线上的运动，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】（1）B（2）A

【解析】（1）联立，解得，故,

所以点到直线的距离为，故选：B.

（2）表示点与距离的平方，

因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A

【例2-3】（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（       ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【解析】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是.故选：D.

【一隅三反】

1．（2021·全国·高二课时练习）已知A（﹣2，﹣1），B（2，5），则|AB|等于（　　）

A．4 B． C．6 D．

【答案】D

【解析】因为A（﹣2，﹣1），B（2，5），所以|AB|.故选：D.

2．（2022·四川巴中）点（-1，1）到直线的距离为（       ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【解析】点到直线的距离为，故选：A.

3．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）若点到直线：的距离为3，则（       ）

A．3 B．2 C． D．1

【答案】B

【解析】由题设可得，结合可得，故选：B.

4．（2022·西藏昌都）两条平行直线与之间的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为直线与直线平行,所以,解得,

将化为,

所以两平行直线与之间的距离为.故选：C

5．（2022·江苏·高二专题练习）已知x，y∈R，，则S的最小值是（       ）

A．0 B．2 C．4 D．

【答案】B

【解析】表示点P(x，y)到点A(－1，0)与点B(1，0)的距离之和，

如图所示：

由图象知：，

当点P在线段AB上时，等号成立，所以S取得最小值为2．故选：B

6．（2022·四川巴中）当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______.

【答案】

【解析】由可得过定点，由可得过定点.

又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于时，距离最大，最大值即为两点间的距离.故答案为：.

考点三 对称问题

【例3-1】（2021·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为__．

【答案】

【解析】设C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B点是A，C的中点，所以，解得．

所以C的坐标为．故答案为：

【例3-2】（2022·安徽宿州）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设点，因为点与点关于直线对称，

所以，解得，所以故选：B

【例3-3】（2022·江苏·高二）直线关于点对称的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.故选：D.

【例3-4】5（2021·全国·高二课时练习）直线，则直线l关于直线对称的直线方程是______.

【答案】

【解析】设关于直线对称的直线上的点为，它的对称点为：，

因此有，则在直线上，所以，即．

故答案为：

【一隅三反】

1．（2022·江西）已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是______.

【答案】

【解析】根据中点坐标公式，得，且．解得，，所以点P的坐标为，

则点到原点的距离．故答案为：

2．（2022·全国·高二专题练习）原点关于的对称点的坐标为_____．

【答案】

【解析】设原点关于的对称点的坐标为，则，解得．

要求的点()．故答案为：．

3．（2022·江苏无锡·高二期末）在平面直角坐标系xOy中，点（0,4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（　　）

A．(－1,2) B．(2,－1) C．(1,3) D．(3,1)

【答案】D

【解析】设点(0,4)关于直线x－y+1＝0的对称点是(a,b),则，解得：，故选：D．

4．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程是______．

【答案】

【解析】设对称直线为，则有，

解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中故答案为：

考点四 综合运用

【例4-1】（2022·全国·高二）过定点A的直线与过定点B的直线交于点，则的值为（       ）

A． B．10 C． D．20

【答案】B

【解析】直线过定点，

直线可化为，

由可得，所以定点，

当时，直线方程为，，此时两直线垂直，

当时，由两直线的斜率之积为可知两直线垂直，

所以，所以，

故选：B.

【例4-2】（2021·全国·高二课时练习）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（       ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是

【答案】C

【解析】，

，

，

，

所以三角形是直角三角形.故选：C

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二课时练习）已知点､，点P在x轴上，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】因为关于x轴的对称点，则 ,所以的最小值为.故答案为：

2．（2022·全国·高二课时练习）已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（       ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】D

【解析】，，所以，且的中点为，

若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线为，

即，则到直线的距离，

即，解得或；

所以直线为或；

若直线与平行，设直线为，则到直线的距离，

解得或，所以直线为或；

综上可得满足条件的直线有4条；故选：D

3．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则直线的方程为，

由，

所以，

设，

则表示直线上的点与连线的距离之和，

所以的最小值为.

故选：C