高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数习题

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专题09 高分必刷题-对数函数名校重难点题型分类（解析版） 题型一：对数与对数运算1.（师大）已知函数，则_________.【解析】。2.（一中）已知，，用、表示，则________.【解析】∵，∴，所以．3.（长郡）__________.【解析】原式=2-2+2=2.4.（雅礼）计算：________．【解析】原式=.5.(师大)【解析】原式.6. （师大）计算__________.【解析】原式=.7.（明德）计算：.【解析】.  （长郡）已知，且，则实数的值为_________.已知，且，则实数的值为　　．【解答】解：，，，又，即，解得，故答案为：9. （师大）已知函数，则(    )A.  B.  C.  D. 【答案】．题型二：对数函数的定义域10.（明德）函数的定义域为(   )A.    B.    C.    D.11.（地质中学）函数的定义域___________.【解析】，.12. (师大)设集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B.题型三：对数函数的定点问题 13.对数函数的恒过定点为　　．【解答】解：令，求得，，故函数所过定点是，故答案为：．14．若函数是幂函数，则函数（其中且的图象过定点　　A． B． C． D．【解答】解：因为函数是幂函数，所以，解得，所以函数中，令，解得，所以，所以的图象过定点．故选：．15.（炎德联考）若幂函数的图象经过函数且图象上的定点，则　　．【解答】解：由，解得：，此时，即，设，则，解得：，故，故，故答案为：4．题型四：对数函数的图像16.（明德）在同一直角坐标系中，函数，(且)的图象大致为(    )A. B. C. D.【解答】解：且，为减函数，排除；若，则在上单调递增，此时的斜率为，排除；若，则在上单调递减，此时的斜率为，排除；故选：．17.（一中）函数的大致图象是　　           A.                 B.                  C.                 D.【解答】解：函数的定义域为，，；当时，，，当时，，故选：．18．（雅礼）函数满足（2），那么函数的图象大致为　　          A.                 B.                  C.                 D.【解答】解：函数满足（2），可得．函数关于对称，所以函数的图象为：故选：．19.（一中）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是　　（多选）A．                     B．函数为增函数 C．若，则         D．若，则【解答】解：由题意知，，解得，所以，所以函数为增函数，故错误．正确．当时，，所以，故正确．因为，，所以，又，所以，所以，所以，即，故错误，故选：．题型五：比较对数值的大小20.（雅礼）设，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，，即．又，．．综上可知：．故选：．21.（一中）下列不等式中不成立的是　　A． B． C． D．【解答】解：．函数在上单调递增，（5）（6），即，故正确；．在上单调递增，（3）（5），即，故正确；．，，，故正确；．函数在上单调递减，，即，故错误．故选：．22.（雅礼）设，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：；；；；又，；．故选：．23.（明德）已知，，，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．【解答】解：，，．故选：．24.（长郡）下列大小关系，正确的是(   )A. B. C. D.25.下列大小关系，正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：对于：考察指数函数，由于，故它在上是减函数，， 故错；对于：考察对数函数，由于，故它在上是增函数，，而，故正确；对于：考察幂函数，由于，故它在上是增函数，，故错；对于：考考察指数函数，由于，故它在上是增函数，，考考察指数函数，由于，故它在上是减函数，，故故错；故选：． 26.（明德）三个数，，的大小关系为　　A． B． C． D．【解答】解：由三个数：，，，可得大小关系为：，故选：．27.（明德）已知，则　　A． B． C． D．3【解答】解：．故选：．题型六：对数函数的单调性与值域28.（广益）下列函数中，其定义域和值域与函数的定义域和值域相同的是　　A． B． C． D．【解答】解：由题意，函数，定义域为：，值域．对于，定义域为，不对．对于，定义域为：，值域为，不对．对于，定义域为：，值域为，对．对于，定义域为，值域，不对．故选：．29．（雅礼）函数的单调递增区间是　　A． B． C． D．【解答】解：由得或，设，则当时，为增函数，此时为增函数，则为增函数，即的单调递增区间为，故选：．30.（炎德联考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　A． B．， C． D．，【解答】解：由，得或．令，外层函数是其定义域内的增函数，要使函数在上单调递增，则需内层函数在上单调递增且恒大于0，则，，，即．的取值范围是，．故选：．31.（明德）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是(    )A.    B.     C.    D.【解答】解：由已知可得函数是上的单调递增函数，则只需满足：，解得，所以实数的取值范围为：，，故选：．32.（一中）下列函数中，最小值是的是(   )（多选）A.       B.C.     D.【解答】解：由基本不等式的前提条件要求可得满足条件的选项是A、C；由取等号要求可知D选项不成立，故选：AC． 33.（雅礼）下列结论正确的是(   )（多选）A.，      B.若，则C.若，则  D.若，，，则【解答】解：对于，当时，，故错；对于，当时，，则，故正确；对于，若，则，则，故错；对于，若，，，则有，故正确．故选：．34．（雅礼）给出下列结论，其中正确的结论是　　A．函数的最大值为 B．已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是， C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D．若，则的值为1【解答】解：对于：函数的最小值为，故错误；对于：已知函数且在上是减函数，所以，解得，当时，成立，实数的取值范围是，，故正确；对于：同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的图象关于直线对称，故正确；对于：由于，则，则，同理，所以，故正确．故选：． 35.(一中)已知集合，.(1)求集合、；(2)求.【解析】(1)，，；(2)，，，，36.（长郡）已知函数(且)的图象过点.(1)求函数的解析式；(2)解不等式.【解析】(1)因为函数(且)的图象过点.∴，所以，即；(2)因为单调递增，所以，即不等式的解集是.37.(地质中学)已知函数.(1)求关于的不等式的解集；(2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)①当时，则由得：，即定义域为，又为上的增函数，∴，∴当时，的解集为②当时，则由得：，即定义域为，又为上的增函数，∴，∴当时，的解集为，综上所述：当时，不等式解集为，当时，不等式解集为(2)当时，，设，设，，∴，∴，∴，∵对任意实数恒成立，∴，即实数的取值范围为。38.（明德）已知函数，(且)，设.(1)求函数的定义域；(2)当时，求的取值范围.【解析】(1)依题意得，所以的定义域为.(2).即，当时，，∴，当时，，∴.39．（雅礼）已知函数．（1）解关于的方程；（2）若函数在上的最小值为2，求的值．【解析】(1)将代入得，∴(平方差)∴或，∴或∴或(舍)，∴(2)，∴，令，，令，∴，∴，①若，则，∴，(舍)，∴；②若时，舍；③若时，；∴综上：或。题型七：对数函数的应用题40.（一中）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求，音量大小的单位是分贝，对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：，（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度），则的声音强度是的声音强度的　　A．倍 B．倍 C．10倍 D．倍【解答】解：由题意，令，解得，，令，解得，，两式作比得：，的声音强度是的声音强度的10倍．故选：．41.(明德)年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活.为提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，其顶点为，当时，曲线是函数，(且)图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数时听课效果最佳.(1)试求的函数关系式；(2)一道数学难题，讲解需要分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由.       【解析】(1)当时，设，将点代入得，∴当时，；当时，将点代入，得.所以；(2)当时，，解得，所以；当时，，解得，所以，综上时学生听课效果最佳，此时，答：教师能够合理安排时间讲完题目.42.20世纪30年代，里克特．．制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为：，其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？（以下数据供参考：，【解答】解：（1）因此，这次地震的震级为里氏4.3级．（2）由可得，即，．当时，地震的最大振幅为；当时，地震的最大振幅为；所以，两次地震的最大振幅之比是：答：8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/11/2 13:41题型八：对数函数与奇偶性的综合题43.（师大）已知函数是偶函数，且当时，(，且).(1)求当时的的解析式；(2)在①在上单调递增；②在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围.(注；如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)【解析】(1)当时，，又是偶函数，即，即，；(2)，此时的取值范围是，选条件②的解析：若，则，显然不合要求，当时，，而与都是偶函数，则只需考虑即可，此时是单调递减的，而是单调递增的，则，此时的取值范围是.
44.(师大)已知函数是奇函数.(1)求的值，判断的单调性并用定义证明之；(2)解不等式：.【解析】(1)显然函数的定义域是，据题意有，得，即此时满足题意，由此可判断出是上的递增函数以下用定义证明：，且，则所以即，故是上的递增函数.(2)由得或即：或或或即解集为45.（一中）已知，且是定义在上的奇函数，当时，.(1)若在上的最大值是，求实数的值；(2)当时，若对任意，，恒有，求的取值范围.【解析】(1)且，，对称轴为，，，，∴；(2)，，∴而，令，当且仅当时取等，∴，，∴。46.（明德）设函数(且)是定义域为的奇函数.(1)求的值；(2)若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围；(3)若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)是定义域为的奇函数，∴，.经验证此时(且)为奇函数，∴(2)由(1)得，由得又.∴由得.∴为奇函数.∴，∴，∴为上的增函数，∴对一切恒成立，即对一切恒成立，故，解得(3)假设存在正数符合意，由得，设，则，∵，∴，记，∵函数在上的最大位为，(ⅰ)若，则函数在有最小值为，∵对称轴，∴，不合题意；(ⅱ)若，则函数在上恒成立，且最大值为，小值大于，①，又此时，又，故意义，所以应舍去；②无解，故不存在正数，使函数在上的最大值为. 题型九：与对数函数有关的恒成立问题47.(炎德联考)已知函数图象过点.(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；(2)若关于的方程在上有解，求的取值范围.【解析】(1)由题可知，所以，，所以.当时，恒成立，即，∴在恒成立，由于是减函数，故当时函数取到最大值，∴，即实数的取值范围是.(2)令，在上单调递减，又单调递减.所以在上是增函数，在上是减函数，∴只需要，即可保证关于的方程在在上有解，下解此不等式组.代入函数解析式得，解得，即当时关于的方程在上有解.48.(师大)已知，．（1）求的解析式；（2）求的值域；（3）设，时，对任意，，总有成立，求的取值范围．【解答】解：（1）令，则，故．，（2）再设，则，，①当时，，在上是减函数，其值域为；②当时，的对称轴，故其在上是减函数，在，上是增函数．其值域为，；③当时，的对称轴，故其在上是减函数．其值域为；（3）对任意，，总有成立，等价于在，内满足其最大值与最小值的差小于等于．又，令，，，①当时，在，单调递增，函数在，内的最大值是（2），最小值是．，可得．不满足，舍去．②当时，，所以在在，单调递增，同①可得符合题意．③当时，在，单调递减，函数在，内的最小值是（2），最大值是．，解得，与矛盾，舍去．④当时，函数在，递减，在，递增，，故只需即可，，综上所述，的取值范围为，． 49.(明德)已知，函数.(1)当时，解不等式；(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求的取值范围；(3)设，若对任意，函数在区上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.【解析】(1)当时，，由得，∴得，即，解得或，∴当时，不等式的解集为(2)由题意得，该问题等价于，化简得，即①当时，，不合题意，舍去.②当时，，不合题意，舍去.③当且时，，且.由，得(且)；由，得(且)；依题意，若原方程由两个不等的实数根，则(且).故所求的取值范围为.(3)易得，当时，在上单调递减.故函数在区间上的最大值与最小值分别为，.则对恒成立，即，对任意恒成立.因为，函数的对称轴，函数在区间上单调递增，故时，有最小值，∴，得故所求的取值范围为.