高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换课堂检测

高分必刷题——三角恒等变换名校重难点题型分类（解析版）

题型一：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.(一中)已知，则________.

【解答】解：．

2.(地质中学)已知，是第四象限角，则(   )

A.    B.     C.    D.

【解答】解：选：D．

3.(周南)已知，，则________.

【解答】解：．

4.（广益）已知是第四象限角，且，则(   )

A.    B.    C.    D.

【解答】解：选：B．

5.(师大)在中，，，则的值为(   )

A.    B.    C.    D.

【解答】解：∵在△ABC中，A+B+C＝π，∴C＝π﹣（A+B），又cosA＝，cosB＝，

∴sinA＝，sinB＝，∴cosC＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB

＝（﹣）•+•＝．故选：B．

6.（雅礼）化简_________.

【解答】解：sin40°（tan10°﹣）＝sin40°•＝＝＝＝﹣1．

7.(师大)_________.

【解答】解：＝．

8.(明德)设是钝角，.

(1)求的值；     (2)求的值.

【解析】(1)∵，，∴，∴，

∴；

(2)。

9.(地质中学)已知，都是锐角，，，

(1)求和的值；

(2)求的值.

【解析】(1)∵，，∴，

(2)∵，，，，∴，，

∴．

10.(明德)已知，，，.

(1)求的值；     (2)求的值.

【解答】解：（1）因为0＜α＜，sinα＝，所以cosα＝，又因为0＜β＜，cos（α+β）＝，

所以sin（α+β）＝，所以cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝+＝．

（2）因为cosα＝，sinα＝，所以2sinαcosα＝2×＝，2cos2α﹣2＝2×（）2﹣1＝，所以＝﹣．

题型二：辅助角公式

11.（南雅）已知为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为的值的是（   ）

A.    B.     C.    D.

【解答】解：由题意得，sin θ+cos θ＝，∵θ为锐角，∴，

则，即，

故选：A．

12.（雅礼）将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到函数.若为偶函数，则的最小值为(   )

A.    B.    C.    D.

【解答】解：选：A．

13.（师大）已知函数，，在区间上单调递减，则________.

【解析】∵在上单调递减，且，∴，

∵，∴，

∴，，又由，，得，∴.

14.（长郡）已知函数，则下列结论正确的是(   )

A.函数的最小正周期为      B.函数的图象关于点对称

C.函数的图象关于直线对称

D.若实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则一定有

【解答】解：函数f（x）＝sinx+cosx＝2sin（x+），故函数的最小正周期为2π．故A正确．

当x＝﹣时，f（）≠0故B错误．

当x＝﹣时，f（﹣）＝﹣2故C正确．

当实数m＝时，使得方程f（x）＝m在[0，2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，

则一定有x1+x2+x3＝．故D正确．

故选：ACD．

15.(A佳联考)已知函数，则(    )

A.函数在上的单调递减区间是     B.函数的图象关于点对称

C.函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则的最小值是

D.若实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则

【解答】解：选：ACD．

题型三：二倍角公式和降幂公式的应用

16.（地质中学）若，则___________.

【解答】解：．

17.（雅礼）若，且，则的值为(   )

A.    B.    C.    D.

【解答】解：∵3cos2α＝cos（+α），∴3（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）＝（cosα﹣sinα），

∵α∈（，π），可得：cosα﹣sinα≠0，∴cosα+sinα＝，

∴两边平方可得：1+sin2α＝，解得：sin2α＝﹣．

故选：D．

18.(广益)已知，且，则_________.

【解答】解：．

19.(周南)下列各式的值小于的是(    )（多选）

A.        B.

C.       D.

【解答】解：选：ACD．

20.(长郡)已知函数，若函数是偶函数，则________.

【解答】解：，

是偶函数，，，∴．

故答案为：．

21.（雅礼）关于函数的描述正确的是(   )

A.其图象可由的图象向左平移个单位得到       B.在单调递增

C.在有个零点                                 D.在的最小值为

【解答】解：＝cos2x+sin2x＝sin（2x+），

A.的图象向左平移个单位得到，y＝sin2（x+）＝sin（2x+），故A正确，

B．当0＜x＜，则0＜2x＜π，＜2x+＜，此时函数f（x）不单调，故B错误，

C．由2x+＝kπ，得x＝﹣，

当k＝0时，x＝﹣，当x＝1时，x＝，当x＝2时，x＝，当x＝3时，x＝，即f（x）在[0，π]有2个零点，，，故C正确，

D．﹣≤x≤0，则﹣π≤2x≤0，﹣≤2x+≤，则当2x+＝﹣时，函数f（x）取得最小值，最小值为y＝sin（﹣）＝﹣，故D正确

故选：ACD．

22.（长郡）(1)已知，求的值.

(2)求的值.

【解析】(1)由，可得，

又，

所以.

(2)原式.

23.(明德)已知函数.

(1)求的最小正周期；(2)求函数的单调递减区间.

【解析】(1)，；

(2)令，；，

，，∴增区间为，。

24.(广益)已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；(2)当时，求不等式的解集.

.【解析】(1)∵

∴的最小正周期为，∵

∴，∴的单调递增区间为

(2)，，，

∴，，，

∴。

25.(地质中学)已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值.

【解析】(1)根据余弦的差角公式及余弦的二倍角公式，结合余弦的降幂公式和辅助角公式，展开化简可得

所以由周期公式可知，即最小正周期为

(2)因为，则，由正弦函数的图像与性质可知

，所以，

即函数在区间上的最大值为，函数在区间上的最小值为。

26.(雅礼)已知函数.

(1)求的最小正周期；

(2)求在区间上的最小值及单调减区间.

【解析】(1)

.所以的最小正周期为.

(2)因为，所以，所以当，即时，函数取得最小值.

由，得，所以函数的单调递减区间为.

27.(明德)已知函数，.

(1)求的最小正周期和对称中心；

(2求函数在区间上的值域.

【解答】解：（1）原式＝＝

＝＝＝，

所以f（x）的最小正周期为．

当时，，函数的对称中心（，﹣1），k∈Z

（2）∵，∴，

当，即时，；

当，即时，．

28.(A佳联考)已知函数，.

(1)若是第三象限角，且，求的值；

(2)设，讨论在区间上的单调性.

【解析】(1)

由，因为是第三象限角，故由，

.

(2)由(1)得，

由，要使为增函数，则，

要使为减函数，则.

综上所述，当时，在上递增，在上递减.

29.(师大)已知函数.

(1)求的最大值及取得最大值时的值；

(2)若方程在上的解为，，求的值.

【解析】（1）.

当，即时，函数取最大值，且最大值为1.

（2）由（1）知，函数图象的对称轴为，

∴当时，对称轴为或.又方程在上的解为，.

结合图象知点与点关于对称.∴，则，

∴，又，故.

30.(师大)已知函数.

(1)求函数的最小正周期及的单调递减区间；

(2)将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数，若，，求的值.

【解析】

(1)的最小正周期为，由，，

解得，，所以函数的单调递减区间是，

(2)将的图象先向左平移个单位长度，得到函数，再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数

据题意有，且，则

则

31.(一中)设函数

(1)求函数的最小正周期；

(2)若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件；

(3)将函数的图象向右平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立.求实数的取值范围.

【解析】(1)，

(2)

令，，∴，，

，，令，∴，

(3)，，∴，，

∴，，∴(，且)。

32.（长郡）已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)若，求角的取值集合；

(3)设，，且，，求的值.

【解析】

.

(1)最小正周期.

(2)，∴或，，

∴或，，故角的取值集合为.

(3)∵，∴，即.

∵，∴，∴.∵，

∴，即.∵，∴，

∴.∴

.

题型四：三角函数的应用

33.（长郡）如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，

(1)用角表示，的长度；

(2)当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.

【解析】(1)由题意知：在中，，.

在中，，所以.

(2)设矩形的面积为，则

.由，得，

所以当，即时，.

因此，当时，矩形有最大面积，为

34.(广益)如图所示，已知点，，点，在单位圆上，且.

(1)若点，求的值；

(2)设，四边形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值.

【解析】(1)B点的坐标为，所以，，

(2)由题意知，

∵，∴，∴，

故当时，.

35.(周南)如图，角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若点的坐标为.

(1)求和的值；

(2)求的值；

(3)若将绕原点按逆时针方向旋转，得到角，设，求的值(用表示).

 解：（1）根据题意，，，

所以，

.

（2）因为，

所以

（3）由题意知，则则

36.（长郡）国家质量监督检验检疫局于年月日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升且小于毫克/百毫升的为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下，该图的函数模型如下，

.

根据上述条件，回答以下问题：

(1)试计算喝瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？

(2)试计算喝瓶啤酒后多少小时才可以驾车？(时间以整小时计算)(参考数据：，，)

【解析】(1)由图可知，当函数取得最大值时，.此时.

当时，即时，函数取得最大值为，

故喝一瓶啤酒后小时血液中的酒精达到最大值，最大值是毫克/百毫升.

(2)由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于毫克/百毫升可以驾车，此时，

由，得.两边取自然对数得，

即，∴，

故喝一瓶啤酒后小时才可以驾车.

37.(师大)游客乘坐位于长沙贺龙体有场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，远眺岳麓山，俯瞰橘子洲，饱览湘江风光.据工作人员介绍，该摩天轮直径约米，摩天轮的最低处与地面的距离为米，设有个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口(入口在摩天轮距地面的最低处)处等待，当座舱到达最低处时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向与匀速运行一周约需分钟，以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)试将游客甲离地面的距离(单位：米)表示为其坐上摩天轮的时间(单位：分钟)的函数；

(2)若游客乙在甲后的分钟也在点处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分钟时甲乙的离地面距离之差首次达到最大.

【解析】(1)法1：据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动

设经过分钟后甲到达，则以为始边，为终边的角的大小是

因为圆的半径为米，由三角函数定义知点的纵坐标为

则其离地面的距离为：

法2：因为摩天轮是作匀速圆周运动，故可设

据题意有

又周期，所以

由在最低点入舱得

故得，

(2)由(1)可知游客乙离地面的距离，其中时间表示游客甲坐上摩天轮的时间，

则甲乙的离地面距离之差为：

当，即时，甲乙离地面距离之差达到最大

所以，即游客乙坐上摩天轮分钟后，甲乙的离地面距离之差首次达到最大.