2023年新高考数学一轮复习课时8.6《空间向量与立体几何》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

2023年新高考数学一轮复习课时8.6

《空间向量与立体几何》达标练习

1.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.

(1)求证：BD⊥平面ACFE；

(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小.

【答案解析】解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.

∵AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥AE.

∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACFE.

(2)以O为原点，，的方向为x，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，

则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1,0,2)，F(－1,0，a)(a>0)，

＝(－1,0，a).设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，

则有即令z＝1，则n＝(－2,0,1)，

由题意得sin45°＝|cos〈，n〉|

＝＝＝，解得a＝3或－.

由a>0，得a＝3，＝(－1,0,3)，＝(1，－，2)，

cos〈，〉＝＝，

故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.

2.如图1，在直角△ABC中，∠ABC=90°，AC=2，AB=，D，E分别为AC，BD的中点，连结AE并延长交BC于点F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示.

(1)求证：AE⊥CD；

(2)求平面AEF与平面ADC所成二面角的正弦值.

【答案解析】解：(1)证明：由题意知，而为的中点，

∴，又面面，面面，且平面，

∴平面，又平面，

∴.

(2)由(1)可知，，，两两相互垂直，可构建以E为原点，

为x轴、y轴、z轴正方向空间直角坐标系，

则，，，，，

易知面的一个法向量为，

，设平面的法向量为，

则：，即，令，则，

设平面与平面所成锐二面角为θ，则，

所以其正弦值为.

3.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点.

(1)求证：B1E⊥AD1.

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE.若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.

【答案解析】解：(1)证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).

设AB=a，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1)，

故=(0，1，1)，=，=(a，0，1)，=.

因为·=－×0＋1×1＋(－1)×1=0，

所以B1E⊥AD1.

(2)假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)，

使得DP∥平面B1AE，此时=(0，－1，z0).

又设平面B1AE的法向量n=(x，y，z).

因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，

得

取x=1，得平面B1AE的一个法向量n=.

要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0=0，

解得z0=.又DP⊄平面B1AE，

所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP=.

4.如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，

且平面ABCD⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE中点.

(1)求证：AB⊥DE.

(2)求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值.

【答案解析】解：(1)证明：取AB的中点O，连接OD，OE，

因为△ABE是等边三角形，所以AB⊥OE，

因为CD∥OB，CD=AB=OB，BC=CD，BC⊥AB，

所以四边形OBCD是正方形，所以AB⊥OD，

又OD⊂平面ODE，OE⊂平面ODE，OD∩OE=O，

所以AB⊥平面ODE，

又DE⊂平面ODE，

所以AB⊥DE.

(2)因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，OD⊂平面ABCD，OD⊥AB，

所以OD⊥平面ABE，以O为原点，以OA，OE，OD为坐标轴建立空间直角坐标系，

如图所示：

则A(1，0，0)，B(－1，0，0)，D(0，0，1)，E(0，，0)，C(－1，0，1)，

所以=(－1，0，1)，=(－1，，0)，=(0，0，1)，=(1，，0)，

设平面ADE的法向量为m=(x，y，z)，

则即令y=1，得m=(，1，)，

同理可得平面BCE的法向量为n=(，－1，0)，

所以cos〈m，n〉===.

所以平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为.

5.如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是线段AD的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2所示.

(1)证明：CD⊥平面A1OC；

(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求直线BD与平面A1BC所成角的正弦值.

【答案解析】解：(1)证明：在题图1中，连接CE，

因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，

∠BAD＝，所以四边形ABCE为正方形，四边形BCDE为平行四边形，

所以BE⊥AC.

在题图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，又OA1∩OC＝O，

从而BE⊥平面A1OC.

又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.

(2)由(1)知BE⊥OA1，BE⊥OC，

所以∠A1OC为二面角A1－BE－C的平面角，

又平面A1BE⊥平面BCDE，所以∠A1OC＝，

所以OB，OC，OA1两两垂直.

如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则B(,0,0)，E(- ,0,0)，A1(0,0,)，C(0,,0)，

得＝(- ,,0)，＝(0,,- )，

由＝＝(－，0,0)，得D(- ,,0).所以＝(- ,,0).

设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，直线BD与平面A1BC所成的角为θ，

则得取x＝1，得n＝(1,1,1).

从而sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，

即直线BD与平面A1BC所成角的正弦值为.

6.已知四棱锥S-ABCD的底面为平行四边形，且SD⊥面ABCD,AB=2AD=2SD,∠DCB=60°,M,N分别为BS,CS中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD,AB相交于点P,Q.

（1）在图中作出平面MNPQ，使面MNPQ//面SAD(不要求证明）；

（2）若，是否存在实数，使二面角M-PQ-B的平面角大小为60°？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【答案解析】解：