2021自治区拉萨中学高一下学期期末考试数学试题含答案

拉萨中学高一年级（2023届）第二学期期末考试

数学试卷

（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。把答案填涂在答题卡上。

1．化简的结果是（   ）

A． B． C． D．

2．已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面说法中正确的是(   )。

A．若，，且，，则

B．若，，且，则

C．若且，则

D．若，，且，，则

3．已知，，则（   ）

A． B． C． D．

4．的值是（   ）

A． B． C． D．

5．已知，，则值等于（   ）

A． B． C． D．

6．已知平面向量，，若，则实数（   ）

A．           B．0           C．1          D．2

7．设向量，满足，，则（   ）

A．2 B． C． D．

8．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(   )

A．         B．       C．       D．

9．执行如图的程序框图，若输入的，，则输出的为（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5

10．如图所示，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为(    )

A．       B．       C．       D．

11．已知正四棱柱中，，，为的中点，则直线与平面的距离为(   )

A．      B．      C．      D．

12．若函数的部分图象如图所示，则图象的一条对称轴是(  )

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。

13．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为       。

14．已知，为单位向量，且，若，则，　  　．

15．若，≥恒成立，则的取值范围为　　  ．

16．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列函数的结论：

①一条对称轴方程为；

②点时对称中心；

③在区间上为单调增函数；

④函数在区间上的最小值为．

其中所有正确的结论为　  　（写出正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（10分）已知，求值：

（1）；

（2）．

18．（12分）已知函数，．

（1）求的最小正周期；

（2）求的单调增区间．

19．（12分）已知向量．

（1）求向量，的夹角；

（2）求的值．

20．（12分）已知向量，，其中，且．

（1）求和的值；

（2）若，且，求角．

21．（12分）如图所示，已知平面，平面，为等边三角形，，为的中点。

求证：(1)平面；

      (2)平面平面。

22．（12分）如图，矩形中，，。、分别在线段和上，，将矩形沿折起。记折起后的矩形为，且平面平面。

(1)求证：平面；

(2)若，求证：；

(3)求四面体体积的最大值。

数学答案

一、选择题

1-5 CDACC 6-10 BBCCB 11-12 AB

二、填空题

13.    14.    15. ，    16. ②③④

三、解答题

17. 【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），

；

（2）

．

18. 【答案】（1）；（2），，.

【解析】（1）因为函数，故函数的最小正周期为．

（2）对于函数，

令，，

解得，，可得函数的增区间为，，．

19. 【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）向量．

；

（向量夹角）；

（2）．

20. 【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），，且，

，即．

代入，得，

，

，则．

则，

；

（2），，．

又，．

．

，．

21. 【解析】

证明：(1)如图所示，取的中点，连接、，                            1分

∵为的中点，∴且，                          2分

又∵平面，平面，，

∴，且，                                          3分

∴，∴四边形为平行四边形，则，               4分

又平面，平面，∴平面；                5分

(2)∵为等边三角形，为的中点，∴，                  6分

∵平面，，∴，                        7分

又，∴平面，                                  9分

又，∴平面，                                     10分

又∵平面，∴平面平面。                       12分

22.

【解析】(1)证明：∵四边形，都是矩形，

∴，，∴四边形是平行四边形，      2分

∴，∵平面，∴平面；                  4分

(2)证明：连接，设，∵平面平面，且，

∴平面，∴，

又，∴四边形为正方形，∴，                6分

∴平面，又平面，∴，                  8分

(3)解：设，则，其中，由(1)得平面，

∴四面体的体积为：

，          10分

当时，四面体的体积最大，其最大值为。                     12分