2021届西藏自治区拉萨中学高三上学期第四次月考数学（理）试题（含解析）

2021届西藏自治区拉萨中学高三上学期第四次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式得，求函数的定义域得，再根据集合运算得答案.

【详解】解：解不等式得，故，

由于函数的定义域为，故，

所以

故选：C

2．已知（其中为虚数单位），则的虚部为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，进而可得结果.

【详解】因为,

所以，故的虚部为，故选B.

【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题知，再结合余弦的差角公式计算即可.

【详解】解：因为，，所以，

所以

故选：A

4．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：

①样本数据落在区间的频率为0.45；

②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；

③样本的中位数为480万元.

其中正确结论的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据直方图求出，求出的频率，可判断①；求出的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.

【详解】由，，

的频率为，①正确；

的频率为，②正确；

的频率为，的频率为，

中位数在且占该组的，

故中位数为，③正确.

故选:D.

【点睛】本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题

5．已知a=， b=， c=，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a

【答案】A

【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的单调性，借助中间量即可比较大小.

【详解】解：由函数在上单调递增，

所以，

由于函数在上单调递减，

所以，

由于函数在上单调递增，

所以，

故.

故选：A.

6．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是

A． B．8 C． D．

【答案】C

【分析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2，求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积.

【详解】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2，

画出图形，如图所示；

所以该四棱锥的底面积为，高为；

所以该四棱锥的体积是.

故选：C.

【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题.

7．已知x>0，y>0，且，则x+y的最小值是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】将变形为，再利用基本不等式求出的最小值后可得的最小值，从而可得正确的选项.

【详解】，

由基本不等式可以得到，

当且仅当时等号成立，

故的最小值为8，故的最小值为7，

故选：C.

【点睛】本题考查基本不等式在求最值中的应用，注意常数代换在变形中的应用，本题属于基础题.

8．宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的分别为，，则输出的（    ）

A．2 B．3

C．4 D．5

【答案】C

【分析】按流程图逐一执行即可.

【详解】输入的分别为，时，依次执行程序框图可得：

不成立

不成立

不成立

成立

输出

故选C

【点睛】本题主要考查了程序框图知识，考查读图能力及计算能力，属于基础题.

9．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论．

【详解】根据已知函数

其中，的图象过点，，

可得，，

解得：．

再根据五点法作图可得，

可得：，

可得函数解析式为：

故把的图象向左平移个单位长度，

可得的图象，

故选B．

【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．

10．已知f (x)＝│x│，g (x)＝x2，设则函数h(x)大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】在同一坐标系中，作出函数f (x)＝│x│，g (x)＝x2的图象，可得选项.

【详解】在同一坐标系中，作出函数f (x)＝│x│，g (x)＝x2的图象，

又因为根据图象可知D选项正确；

故选：D.

【点睛】本题考查分段函数的定义，函数的图象的应用，属于基础题.

11．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】双曲线的右顶点为A(a,0)，

以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．

若,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：，

可得：,即,可得离心率为：.

故选A.

12．已知函数的定义域为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可知，在上单调递减，将不等式两边同时乘以，变形为，不妨设，则，构造新函数，根据函数单调性定义可知，若使得对任意的，恒成立，则需恒成立，即，求解即可.

【详解】

函数的定义域为

，即函数在上单调递减.

变形为

即

不妨设，则，

即

令

则

若使得对任意的，恒成立.

则需恒成立.

则恒成立.

即恒成立.

所以.

即实数的取值范围是.

故选：B

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，等价变形，构造新函数，是解决本题的关键，本题属于难题.

二、填空题

13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为___．

【答案】4

【详解】试题分析：作出不等式组表示的平面区域如图，目标函数化为斜截式为，所以当直线的截距最大时，所以当直线过点时，故选C．

【解析】简单的线性规划．

14．在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则=_____.

【答案】

【详解】试题分析：因为，所以为的中点即，∵，

∴，

∴

【解析】向量线性运算与数量积的几何运算.

15．中，，的面积为，则_________

【答案】.

【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.

【详解】，，面积为，，解得，

由余弦定理可得：，

所以.

故答案为：.

16．．下列说法：

①函数的零点只有1个且属于区间；

②若关于的不等式恒成立，则；

③函数的图像与函数的图像有3个不同的交点；

④函数的最小值是1．

正确的有__________．（请将你认为正确说法的序号都写上）

【答案】①④

【详解】试题分析：①函数在上是增函数，且， ．所以①正确．

②当时原不等式变形为，恒成立；当时，要使关于的不等式恒成立，则，综上可得关于的不等式恒成立时．故②不正确．

③由函数图像可知函数的图像与函数的图像只有一个交点，故③不正确．

④，时，，所以此函数在上单调递增．所以．故④正确．

【解析】函数的性质

三、解答题

17．设数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列.

（1）求及；

（2）设(n∈N)，求数列{bn}前n项和Tn.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据a1，a2，a5成等比数列，求出，即得解；

（2），裂项法求和，即得解

【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知可得

若a1，a2，a5成等比数列，故 ，因为a1=1

故，又

此时，满足a1，a2，a5成等比数列

（2）由（1）知，

【点睛】本题考查了等差等比数列综合和裂项法求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题

18．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.

（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，.

【分析】（1）甲、乙两人所付费用相同即为、、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）确定随机变量的可能取值，求出相应的概率，即可得出随机变量的分布列，然后利用数学期望公式求出即可.

【详解】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，

两人都付0元的概率为，

两人都付40元的概率为，

两人都付80元的概率为，

故两人所付费用相同的概率为.

（2）由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为0，40，80，120，160，则：

，

，

，

，

.

的分布列为：

.

【点睛】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，考查运算求解能力，属于常规题目，难度不大.

19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．

（1）求证：MN∥平面BDE；

（2）求二面角C-EM-N的正弦值；

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值，进一步求得正弦值；

【详解】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，
∵M为AD中点，∴MF∥BD，
∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．
∵N为BC中点，∴NF∥AC，
又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．
∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．
又MF∩NF=F．
∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（2）∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∵PA=AC=4，AB=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则

设平面MEN的一个法向量为

由 ，得 ，取z=2，得

由图可得平面CME的一个法向量为

∴ ．
∴二面角C-EM-N的余弦值为，则正弦值为.

【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．

20．已知椭圆：的离心率为，点在上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为坐标原点，，试判断在椭圆上是否存在三个不同点(其中的纵坐标不相等)，满足，且直线与直线倾斜角互补？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，方程为或.

【分析】（1）由离心率及过的点的坐标，及，，之间的关系可得，的值，进而可得椭圆的方程；

（2）设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意可得，可得的坐标，由题意可得，进而求出参数的值，求出直线的方程．

【详解】解：（1）由题意知可得，，，解得，

则椭圆的方程为；

（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，

设点，

联立，得，

所以，，

，

因为，

所以，

因为在椭圆上，所以，

化简得，

满足，

又因为直线与直线倾斜角互补，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，代入得，

所以存在满足条件的三个点，此时直线的方程为或.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21．已知函数，.

（1）当时，讨论函数的零点个数；

（2）若在上单调递增，且，求的最大值.

【答案】（1）当时，函数有两个零点；当或时，即或时，函数有一个零点；当即时，函数无零点；（2）的最大值为2.

【分析】（1）整理得，故函数零点的个数取决于的零点个数，等价转化为与的值域之间的关系，利用导数求解即可求得结果；

（2）根据题意，恒成立，据此求得范围；再构造函数求得的最小值，即可求得的最大值.

【详解】（1）当时，，

故的零点个数，取决于的零点个数.

分离参数可得，令，则，

令，解得；令，解得；

故在单调递增，在单调递减.

故，又，当时，恒成立.

故当或，即或时，有一个零点；

当，即时，有两个零点；

当，即时，没有零点.

（2）根据题意，在时恒成立.

当时，，显然不存在使得恒成立；

当时，是单调减函数，且趋近于正无穷时，趋近于负无穷，不满足题意；

当时，，令，解得；令，解得；

故在单调递减，在单调递增，

要满足题意，只需成立即可.

综上所述，若在恒成立，

则且，即，

则，

令，则，

令，解得；令，解得，

故在单调递减，在单调递增.

故，即，

则.

又，故，

故的最大值为.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，涉及利用导数研究恒成立问题，以及双变量问题，属综合困难题.

22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设的极坐标为，则的极坐标为，进而极坐标的意义，并结合已知条件即可得的极坐标方程，再化为直角坐标方程即可；

（2）设点B的极坐标为，故，再根据三角函数范围即可求解.

【详解】解：（1）设的极坐标为，的极坐标为，

由题设知

由得的极坐标方程，

因此的直角坐标方程为

（2）设点B的极坐标为

由题设知，，于是面积

当时，S取得最大值

所以面积的最大值为．

23．已知设函数

（1）若，求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为1，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据题意，只需解，再分类讨论求解即可；

（2）由题知，进而根据柯西不等式即可证明.

【详解】（1），不等式，

即

当时，

当时，

当时，

∴不等式的解集为

（2）

∵，∴

∴

.