2021自治区拉萨中学高二下学期第七次月考数学（文）试题含答案

拉萨中学高二年级（2022届）第七次月考

文科数学试卷

（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）

第I卷（选择题，共60分）

一、单选题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．复数，则的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

3．空气质量AQI指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图所示的是某市4月1日~20日空气质量AQI指数变化的折线图，则下列说法中错误的是（    ）

A．这20天中空气质量最好的是4月17日

B．这20天空气质量AQI指数的极差是240

C．总体来说，该市4月份上旬的空气质量比中旬的空气质量好

D．从这20天的空气质量AQI指数数据中随机抽出一天的数据，空气质量为“优良”的概率是0.5

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5.曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（    ）

A．y=2x+1         B．y=2x-1

C．y=-2x-3        D．y=-2x-2

6．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）

A． B．

C． D．

7．已知，为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，则与异面

D．若，，，则

8．若满足约束条件则的最小值为（    ）

A．18 B．10 C．6 D．4

9．从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（    ）

A． B． C． D．

10．为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化.研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素的含量来决定鱼的新鲜度.若海鱼的新鲜度与其死亡后时间(小时)满足的函数关系式为.若该种海鱼死亡后2小时，海鱼的新鲜度为，死亡后3小时，海鱼的新鲜度为，那么若不及时处理，这种海鱼从死亡后大约经过（    ）小时后，海鱼的新鲜度变为.(参考数据：，)

A．3.3 B．3.6 C．4 D．4.3

11.若，则（    ）

A． B． C．1 D．

12．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．向量，.若，则____________

14．《九章算术》是中国古代张苍、耿首昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹节，下节容量升，上节容量升，使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第节容量是 _________________升.(结果保留分数)

15．已知，则______．

16．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，则双曲线C的离心率为__．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．已知在等差数列中，为其前项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为求.

18．第五代移动通信技术简称5G或5G技术，是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继4G系统之后的延伸.为了了解市民对A，B运营商的5G通信服务的评价，分别从A，B运营商的用户中随机抽取100名用户对其进行测评，已知测评得分在70分以上的为优秀，测评结果如表：

A运营商的100名用户的测评得分：

（1）根据频率分布直方图，分别求出B运营商的100名用户的测评得分的中位数和平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为测评得分是否优秀与运营商有关？

附：，其中.

19．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

20．已知抛物线：()的焦点与双曲线：右顶点重合.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.

21．已知函数（为实数）

（1）若，求在的最值；

（2）若恒成立，求的取值范围．

选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

（1）求直线的普通方程；

（2）设，若直线与曲线相交于，两点，求的值．

23．已知函数.

(1)解不等式；

(2)若方程的解集为空集，求k的取值范围

参考答案

1D

【分析】

利用集合的交、补运算判断A、B，进而由元素与集合的关系判断D的正误，根据已知集合判断A、B是否有包含关系.

【详解】

A：，错误；

B：，错误；

C：没有包含、被包含关系，错误；

D：由A知：，正确.

故选：D.

2．B

【分析】

利用复数的除法运算化简为标准形式，进而根据共轭复数的定义得解.

【详解】

,

,

故选：B.

3．C

【分析】

根据折线图可确定4月17日质量AQI指数，即可判定选项A；求出这20天天气质量AQI指数的最大值和最小值，即可判定选项B；根据折线图中的数据，即可判定选项C；求出空气质量为“优良”的天数，由古典概型公式求出其概率，即可判定选项D.

【详解】

由折线图可知4月17日质量AQI指数为20，是这20天中的最低，

选项A正确；

由折线图可知这20天中天气质量AQI指数的最大值是260，

最小值是20，极差为240，选项B正确；

根据折线图前10天的天气质量AQI指数高于后10天，

选项C错误；

由折线图可知这20天中空气质量为“优良”天数为10天，

所以空气质量为“优良”的概率是0.5，选项D正确.

故选：C.

4．C

【分析】

根据一元二次不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】

由，

由不一定能推出，但是由一定能推出，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：C

5A 

【分析】

对函数f(x)求导，再算出导函数在x=-1时的值，得切线斜率于是得解.

【详解】

，曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线斜率，

曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.

故选：A

6．B

【分析】

解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；

解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.

【详解】

解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

解法二：由已知的函数逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

即为的图象，所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换，属基础题，可以正向变换，也可以逆向变换求解，关键是要注意每一步变换，对应的解析式中都是的变换，图象向左平移个单位，对应替换成,图象向右平移a个单位，对应x替换成,牢记“左加右减”口诀；图象上每个点的横坐标伸长或缩短到原来的k倍，对应解析式中替换成.

7．D

【分析】

直接利用线面平行和线面垂直的判定和性质，以及面面平行和面面垂直的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】

由题意，直线为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，

对于A中，若，，，可能，所以A不正确；

对于B中，若，，，可能，所以B不正确；

对于C中，若，，则与异面或，所以C不正确；

对于D中，由，，可得，又由，所以，所以D正确.

故选：D

8．C

【分析】

由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.

【详解】

由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,

转换目标函数为，

上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，

此时.

故选：C.

9．B

【分析】

根据题意，列出所有可能结果，结合古典概率计算即可.

【详解】

根据题意可知，所有抽取结果如下：

（1，2），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），

（1，3），（2，3），（3，2），（4，2），（5，2），

（1，4），（2，4），（3，4），（4，3），（5，3），

（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，4），

共20种结果，其中两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数有12种，

故抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率为.

故选：B.

10．B

【详解】

由题思可得：，解得，，

所以.令，可得，两边问时取对数，

故小时，故选B.

11C 

【分析】

由已知表示出，再由换底公式可求.

【详解】

，，

.

故选：C.

12．C

【分析】

本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．

【详解】

由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

13．

【分析】

由，，由可得带入即可得解.

【详解】

，，

，

所以，

故答案为：.

14．

【分析】

记从下部算起第节的容量为，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式可构造关于的方程组，解方程组求得后，利用通项公式可求得.

【详解】

记从下部算起第节的容量为，

由题意可知：数列为等差数列，设其公差为，

则，解得：，

，即从下部算起第节容量是升.

故答案为：.

15．

【分析】

利用二倍角公式化简目标，利用齐次式可得结果.

【详解】

∵，

∴，

故答案为：

16．2

【分析】

先设直线，再与一条直线联立求点的坐标，然后根据中点得点的坐标，再代入另一条渐近线方程中，可得即可求离心率.

【详解】

解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），

过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，

所以AF的方程为：y＝，与bx+ay＝0联立，

可得，，

l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，

可得B（，），代入bx﹣ay＝0，可得：c2＝4a2，

则双曲线C的离心率为e＝2．

故答案为：2．

17．（1）；（2），.

【分析】

（1）由条件求得公差，写出通项公式；

（2）求出通项公式，利用分组求和求得，且单增，找到符合的最小n值即可.

【详解】

（1）由等差数列性质知，，则，

故公差，

故

（2）由（1）知，

易知单调递增，且，，

故，解得，.

18．（1）中位数为70，平均值为69.2；（2）答案见解析.

【分析】

（1）由频率分布直方图即可求出中位数和平均值；

（2）根据频率分布表和直方图求出优秀和非优秀数量即可得出列联表，求出卡方值即可判断.

【详解】

（1）由频率分布直方图可知B运营商测评得分在区间的频率为，故B运营商测评得分的中位数为70；

由频率分布直方图可知B运营商测评得分的平均值为；

（2）由频率分布表可知A运营商测评得分优秀的有个，非优秀的有个，

由频率分布直方图可知B运营商测评得分优秀的有个，非优秀的有个，

则可得列联表如下：

则，

所以有99%的把握认为测评得分是否优秀与运营商有关.

19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【分析】

（1）设与交于点，接，可得，即可证明平面；

（2）由底面是菱形，得，又底面，可得，证明平面，利用线面垂直的性质可证．

【详解】

证明：（1）设与交于点，接，

底面是菱形，

为中点，

又因为是的中点，

，

面，平面

平面．

（2）底面是菱形，

，

底面，底面，

，且，平面．

平面．

平面，

．

20．（1）；（2）或.

【分析】

（1）由双曲线和抛物线的几何性质，即可求解；

（2）设，及直线的方程，与抛物线的方程联立，由判别式､韦达定理得出，，结合已知条件求出的值，即可求得直线的方程.

【详解】

（1）由题设知，双曲线的右顶点为，

∴，解得，

∴抛物线的标准方程为.

（2）设，，

显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，

联立，消去得，

由得，即，

∴，.

又∵，，

∴，

∴，

即，

解得或，

∴直线的方程为或.

21．（1）；（2）．

【分析】

（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，再根据最值的定义，求解函数的最值；（2）首先参变分离为恒成立，利用导数求的最小值，即可求得的取值范围.

【详解】

（1）当时，，

由得﹐由得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

且

则函数的最小值为，最大值为2．

（2）由题得，若恒成立，则，

即恒成立

令，则，

当时，；

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

则，所以，

故的取值范围为．

22．（1）；（2）．

【分析】

（1）消去参数，即可得到直线的普通方程；

（2）首先求出曲线的普通方程，再将直线的参数方程化为标准式，代入曲线中，利用直线参数方程参数的几何意义计算可得；

【详解】

解：（1）因为直线的参数方程为（为参数）．则代入得

所以直线普通方程为，

（2）曲线的参数方程为（为参数），

曲线的普通方程为，将直线的参数方程化为，（为参数）

代入椭圆方程得：，

，

，，同号，

23．(1)；(2).

【分析】

(1)把函数化为分段函数形式，在各段上解不等式即可作答；

(2)化方程为，作出函数图象，利用数形结合的思想即可得解.

【详解】

(1)，则不等式化为：

或或，解得或或，

即，所以不等式的解集为；

(2)，令

方程解集为空集，即直线与函数图象无公共点，在同一坐标系内作出直线和函数图象，如图：

直线是过原点的直线，当它过点A(4，2)时，，当它与直线BC平行时，，

观察图形知，当直线在直线和所夹含x轴的对顶角区域(不包括直线)内绕原点旋转时与函数图象无公共点，即，

所以k的取值范围是.