2021自治区拉萨中学高三下学期第八次月考数学（理）试卷含答案

拉萨中学高三年级（2021届）第八次月考

理科数学试题

（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题均有4个选项，其中有且仅有一个是正确的. 将正确答案的字母填入答题卡中相应位置.

1. 已知全集，集合，，则=（   ）

A．  B．         C．     D．

2. 已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 下列关于命题的说法中正确的是（    ）

①对于命题，使得，则，均有

②“”是“”的充分不必要条件

③命题“若，则”的逆否命题是“若，则”

④若为假命题，则､均为假命题

A．①②③   B．②③④  C．①②③④ D．①③

4．设向量，满足，，则（    ）

A．6  B．  C．10 D．

5．已知函数的部分图象如图所示．给出下列结论：

①，，；

②，；

③点为图象的一个对称中心；

④在上单调递减．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①②   B．②③  C．③④ D．②④

6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（    ）

A．    B．    C．1 D．

7．设数列的前项和为，若，，则（    ）

A．63   B．128  C．127 D．256

8．设变量x，y满足约束条件：则z＝x－3y的最小值为(　　)

A．－2          B．－4           C．－6        D．－8

9．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能；因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次运算．现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（    ）（参考数据：）

A．秒   B．秒   C．秒  D．秒

10．已知函数满足和，且当时，，则（    ）

A．0   B．2  C．4 D．5

11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（    ）

A．   B．  C．2 D．

12．已知定义域为的函数满足，且，为自然对数的底数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A．                        B． 

C．                     D．

二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）

13．上饶市婺源县被誉为“茶乡”，婺源茶业千年不衰，新时代更是方兴未艾，其中由农业部监制的婺源大山顶特供茶“擂鼓峰”茶尤为出名，为了解每壶“擂鼓峰”茶中所放茶叶量克与食客的满意率的关系，抽样得一组数据如下表：

根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为________．

14. 若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则等于________．

15．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，

且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为__________．

16. 如图，图形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，，，，，为圆上的点，，，，分别以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，，，重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．

三、解答题

17. (12分) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m＝(sin B,5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直．

(1)求sin A的值；

(2)若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．

18．（12分）2020年11月24日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器，12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功．某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为分，该校某专业的名大一学生参加了学校举行的测试，记录这名学生的分数，将数据分成组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）估计这名学生测试分数的中位数；

（2）把分数不低于分的称为优秀，已知这名学生中男生有人，其中测试优秀的男生有人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为测试优秀与性别有关；

附：

．

（3）对于样本中分数在，的人数，学校准备按比例从这组中抽取人，在从这人中随机抽取人参与学校有关的宣传活动，记这人分数不低于分的学生数为，求的分布列．

19．（12分）在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是的两个三等分点，，，都是圆柱的母线．

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

20．（12分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）记椭圆C与x轴交于A，B两点，M是直线上任意一点，直线，与椭圆C的另一个交点分别为D，E．求证：直线过定点．

21．（12分）已知函数．

（1）设函数，当时，证明：当时，；

（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知曲线的参数方程为（为参数），直线过点且倾斜角为．

（1）求曲线的普通方程和直线的参数方程；

（2）设与的两个交点为，求．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）记的最小值为M，a，b，c为正实数且，求证：．

拉萨中学高三（2021届）第八次月考

理科数学   参考答案

13.  40         14.            15.  1           16.  

1. 【答案】B

【解析】由题可得，则，因此=，

故选B．

2. 【答案】D

【解析】由题意，对应点为，

在第四象限，故选D．

3. 【答案】A

【解析】①对于命题，使得，则均有，故①正确；

②由“”可推得“”，反之由“”可能推出，

则“”是“”的充分不必要条件，故②正确；

③命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故③正确；

④若为假命题，则，至少有一个为假命题，故④错误，

则正确的命题的有①②③，故选A．

4. 【答案】D

【解析】∵向量，满足，，∴，解得．

则．故选D．

5. 【答案】D【解析】由图象可知，，，

再由，得，故①不正确，②正确；

由于为图象的一个对称中心，

又的最小正周期为，故其全部的对称中心为，

当时，对称中心为，故③错误；

由于为的单调递减区间，的最小正周期为，

故的单调递减区间为，

当时，即为，故④正确，故选D．

6. 【答案】B

【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：

故其体积，故选B．

7. 【答案】C

【解析】中，令，得，所以．

由，得，

两式相减得，即．

又，，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以，故选C．

8. 【答案】D

【解析】　作出可行域．

令z＝0，则l0：x－3y＝0，平移l0，

在点M(－2,2)处z取到最小值，

最小值z＝－2－3×2＝－8.

9. 【答案】B

【解析】设这台机器破译所需时间大约为秒，则，

两边同时取底数为10的对数，得，

所以，

所以，

所以，

所以，

而，所以，，故选B．

10.【答案】C

【解析】函数满足和，

可函数是以为周期的周期函数，且关于对称，

又由当时，，

所以，故选C．

11. 【答案】A

【解析】由双曲线的定义知   ①，又   ②，

联立①②解得，，

在中，由余弦定理，得，

要求的最大值，即求的最小值，

当时，解得，即的最大值为，故选A．

解法二：由双曲线的定义知①，又②，联立①②解得，，因为点在右支所以，即故，即的最大值为，故选A．

12. 【答案】A【解析】由，得，

设，，

则，从而有．

又因为，所以，，，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以．

因为不等式恒成立，所以，

即，

又因为，所以，故选A．

13.【答案】40

【解析】由表中数据，计算可得，，

因为回归直线方程过样本中心点，

所以有，解得，故选B．

14. 【答案】

【解析】 (3)因为a5＝，b5＝，

所以＝＝＝＝＝.  故选D.

15. 【答案】1

【解析】设，，由抛物线定义，得，，

在梯形中，∴．由余弦定理得，

，配方得，

又∵，∴得到．

∴，即的最大值为1．故答案为1．

16. 【答案】

【解析】

连接交于点，设，，，重合于点，正方形的边长为，

则，，

∵该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，∴，解得，

设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，

则，，，解得，

外接球的体积．故答案为．

17. 【解析】 (1)∵m＝(sin B,5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直，

∴m·n＝5sin2B－6sin Bsin C＋5sin2C－5sin2A＝0，

即sin2B＋sin2C－sin2A＝

根据正弦定理得b2＋c2－a2＝，

由余弦定理得cos A＝＝.

∵A是△ABC的内角，   ∴sin A＝＝

(2)由(1)知b2＋c2－a2＝，    ∴＝b2＋c2－a2≥2bc－a2.

又∵a＝2，∴bc≤10.

∵△ABC的面积S＝bcsin A＝≤4，

∴△ABC的面积S的最大值为4.

18.【解析】（1）设这名学生测试分数的中位数为，

由前5组频率之和为，前6组频率之和为，可得，

所以，．

（2）列联表如下：

，

所以没有的把握认为测试优秀与性别有关．

（3）由题意可知，人中分数在内的共有人，

（4）分数不低于分的学生有人，

的取值依次为．

，     ，

，   ，

所以的分布列为：

19. 【解析】（1）连接，，

因为，是半圆的两个三等分点，所以，

又，

所以，，均为等边三角形，

所以，所以四边形是平行四边形，所以，

又因为，平面，平面，

所以平面．

因为，都是圆柱的母线，所以，

又因为平面，平面，所以平面．

又平面，，

所以平面平面，

又平面，所以平面．

（2）连接，

因为是圆柱的母线，所以圆柱的底面，

因为为圆的直径，所以，

所以直线，，两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系如图：

因为，所以，，，，

，，

由题知平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，则，

令，，，∴．

所以．

由图可知，二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

20. 【解析】（1）因为椭圆C的离心率，所以，即．

由，得，所以，其焦点为，

因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，

所以，所以，．

所以椭圆C的方程为．

（2）由（1）可得，，

设点M的坐标为，直线的方程为．

将与联立，

消去y，整理得，

设点D的坐标为，则，

故，则．

直线的方程为．

将与联立，

消去y整理得．

设点E的坐标为，则，

故，则，

直线的斜率为，

直线的斜率为，

因为，所以直线经过定点H．

21. 【解析】（1），，

所以在上为单调递增函数，且，

当时，．

（2）设函数，则，

令，

当时，当时，；

当时，，得，

所以当时，，

在上为单调递增函数，此时至多有一个零点，

至多一个零点不符合题意舍去；

当时，有，

此时有两个零点，设为，且．

又因为，，所以，

得在，为单调递增函数，

在上为单调递减函数，且，

所以，，

又因为，，且图象连续不断，

所以存在唯一，使得，

存在唯一，使得，

又因为，

22. 【答案】（1），（为参数）；（2）．

【解析】（1）由，得，

由，得，

所以，代入，整理可得，

所以曲线的普通方程为…①

直线的参数方程为（为参数）…②

（2）②代入①，得，

所以，

设对应的参数分别为，则，

所以．

23.【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）依题意得，

，，，

综上可得的解集是．

（2）由可知，

在上递减，在上递增，

的最小值为，即，

所以，

由，，，

相加可得，

即，，

当且仅当时取等号．