2021-2022学年西藏自治区拉萨中学高一上学期期末考试数学试题含解析

2021-2022学年西藏自治区拉萨中学高一上学期期末考试

数学试题

一、单选题

1．已知函数，若，则函数的解析式为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将代入函数，求出的值即可.

【详解】因为，所以，即，

故选：B

2．下列说法正确的是（       ）

A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面

C．四边形一定是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面

【答案】D

【分析】根据确定平面的公理以及推论判断即可.

【详解】A错误，不共线的三点可以确定一个平面；

B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面；

C错误，四边形不一定是平面图形，比如空间四边形；

D正确，两条相交直线可以确定一个平面．

故选：D．

3．一个几何体的三视图如图所示，则它可能是（     ）

A．长方体 B．圆柱

C．圆锥 D．三棱锥

【答案】D

【分析】根据给定的三视图的形状直接即可得解.

【详解】因所给正视图、左视图、俯视图都是三角形，则原几何不可能是长方体、圆柱、圆锥，这个几何体是三棱锥.

故选：D

4．若，，则的值为（       ）

A．1 B．5 C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件利用根式的性质直接计算即可得解.

【详解】依题意，，，

则，

所以的值为1.

故选：A

5．下面各组函数中表示同一个函数的是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据两个函数的定义域相同，且对应关系相同分析判断即可

【详解】对于A，的定义域为R，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；

对于B，两个函数的定义域都为R，定义域相同，，这两个函数是同一个函数；

对于C，的定义域为，而的定义域是R，两个函数的定义城不相同，所以不是同一个函数；

对于D，的定义域为，而的定义域是R，两个的数的定义域不相同，所以不是同一个函数.

故选：B.

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（       ）

A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能

【答案】B

【分析】直接利用线面平行的性质分析解答.

【详解】∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，

∴MN∥PA.

故选：B

7．若函数的单调递减区间是，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的单调递减区间是，，得到二次函数的对称轴为，即，即可求得的值．

【详解】函数的单调递减区间是，，

所以函数的对称轴为，

则有，解得．

故选：A．

8．下列四个函数中,在上为增函数且为奇函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数图象可以对ABC选项的单调性和奇偶性进行判断，D选项可以用函数奇偶性判断方法得到是偶函数，故D选项错误.

【详解】在单调递减且不是奇函数，故A错误；在上单调递减，在上单调递增，且不是奇函数，故B错误；在上为增函数且为奇函数，C正确；是偶函数，D错误.

故选：C

9．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=4+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为3.9，则其视力的小数记录法的数据约为（       ）（）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

【答案】C

【分析】根据L与V的关系式，结合已知条件即可求解.

【详解】因为，即，

所以当时，，

故选：C.

10．已知，，，则(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】比较a、b、c与中间值0和1的大小即可﹒

【详解】，

，

，

∴﹒

故选：A﹒

11．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（       ）

A．90° B．45° C．60° D．30°

【答案】D

【分析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得，，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案.

【详解】解：设G为AD的中点，连接GF，GE

则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.

∴ ，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数

又EF⊥ AB，

∴ EF⊥ GF

则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°

∴ 在直角△GEF中，

∴ ∠GEF=30°.

故选：D.

12．已知函数是定义在R上的增函数，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】要想使分段函数在R上的增函数，需要每段函数都是单调递增函数，且在分段处左边函数的端点值，小于等于右边函数的端点值

【详解】由题意可得：解得：．

故选：B

二、填空题

13．对任意实数，函数的图象必过定点_______

【答案】

【分析】令指数为，求出的值，再代入原函数解析式可得结果.

【详解】令，可得，且，故函数的图象必过定点.

故答案为：.

14．已知函数且，则___________.

【答案】5

【分析】由条件可得，然后可得答案.

【详解】因为，所以

因为，所以

故答案为：5

15．已知圆锥的底面半径为3，母线与底面所成角为，则圆锥侧面积等于___________.

【答案】

【分析】画出圆锥的直观图，结合题意，求得圆的底面半径和母线长，利用侧面积公式，即可求解.

【详解】根据题意，可得，如图所示，

在直角中，可得，即圆锥的母线长为，

所以圆锥的侧面积为.

故答案为：.

16．已知两条不同的直线，，两个不重合的平面，，给出下面五个命题：

①，；

②，，；

③，；

④，；

⑤，，．

其中正确命题的序号是_________．（将所有正确命题的序号都填在横线上）

【答案】①④⑤

【分析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.

【详解】，，①正确；

，，或异面，②错误；

，或，③错误；

，，④正确；

，，，⑤正确.

故答案为：①④⑤.

三、解答题

17．已知函数（且）的图像过点.

(1)求a的值；

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入点坐标计算即可；（2）根据定义域和单调性即可获解

(1)

依题意有

∴.

(2)

易知函数在上单调递增，

又，

∴解得.

∴不等式的解集为.

18．已知集合，集合.

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据集合交集的定义进行求解即可；

（2）根据子集的性质进行求解即可.

(1)

当时，，∵，∴.

(2)

当，即时，，此时成立，符合题意，

当，即时，由，且，可得，解得，

综上所述：实数的取值范围是.

19．已知函数.

（1）判断函数的单调性；

（2）求证：函数在区间上有零点.

【答案】（1）增函数；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用指数函数及一次函数的单调性即得；

（2）利用零点存在定理及函数单调性可证.

【详解】（1）任取，且，

,

∵，

∴，，

∴即，

∴函数在R上为增函数.

（2）∵，

又函数在区间上为增函数，

∴函数在区间上有唯一零点即函数在区间上有零点.

20．如图：ABCD是正方形，O为正方形的中心，底面ABCD，点E是PC的中点.求证：

(1)平面BDE；

(2)平面平面BDE.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）连接OE，则由三角形中位线定理可得OE//PA，再由线面平行的判定定理可证得结论，

（2）由已知可得BD⊥AC，BD⊥PO，由线面垂直的判定定理可证得BD⊥面PAC，再由面面垂直的判定定理可证得结论

(1)

证明：连接OE，

∵ABCD为正方形，

∴O为AC中点，

又∵E为PC中点，

∴OE//PA，

OE面BDE，

PA面BDE，

∴PA//面BDE，

(2)

证明：∵ABCD为正方形，

BD⊥AC，

又∵PO⊥面ABCD，

BD面ABCD，

∴BD⊥PO，

∵POAC=O，

PO面PAC，

AC面PAC，

∴BD⊥面PAC，

∵BD面BDE，

∴面BDE⊥面PAC，

21．已知函数是定义域为(－2，2)的奇函数，且．

(1)求a，b的值；

(2)判断函数f(x)在(－2，2)上的单调性，并用定义证明；

(3)若函数f(x)满足＞0，求m的取值范围．

【答案】(1)或，.

(2)单调增函数，证明见解析.

(3)

【分析】（1）根据，即可求得结果；

（2）利用单调性的定义，作差、定号，即可判断和证明函数单调性；

（3）根据函数奇偶性以及（2）中所得单调性，结合函数定义域，即可求得的取值范围.

(1)

因为是定义在(－2，2)的奇函数，故可得，则；

因为，故可得，解得或；

综上所述：或，.

(2)

是(－2，2)上的单调增函数，证明如下：

由（1）可知：，不妨设，

则，即，

故是上的单调增函数，即证.

(3)

＞0等价于，

是奇函数，故可得，

由可知，是单调增函数，故

即，解得或.

又的定义域为，则，且

解得，且.

综上所述：.

22．三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，O、M分别为、的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)求点B到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据给定条件证得平面即可推理作答.

(2)在三棱锥中，利用等体积法即可求出点B到平面的距离.

(1)

因，为的中点，则，又平面平面，

平面平面，平面，因此有平面，而平面，

所以平面平面.

(2)

在三棱锥中，，且，则，，连接BM，如图，

因O、M分别为、的中点，则MO为正的中位线，面积为，

设点B到平面的距离为h，

由(1)知，平面，可得，又，则的面积，

由得：，即，解得：，

所以点到平面的距离为.