2021自治区拉萨中学高二下学期第七次月考数学（理）试题含答案

拉萨中学高二年级（2022届）第七次月考

理科数学试卷

（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）

第I卷（选择题，共60分）

一、单选题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．复数，则的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

3．空气质量AQI指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”，如图所示的是某市4月1日~20日空气质量AQI指数变化的折线图，则下列说法中错误的是（    ）

A．这20天中空气质量最好的是4月17日

B．这20天空气质量AQI指数的极差是240

C．总体来说，该市4月份上旬的空气质量比中旬的空气质量好

D．从这20天的空气质量AQI指数数据中随机抽出一天的数据，空气质量为“优良”的概率是0.5

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（    ）

A．y=2x+1          B．y=2x-1

C．y=-2x-3         D．y=-2x-2

6．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）

A． B．

C． D．

7．已知，为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，则与异面

D．若，，，则

8．为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化.研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素的含量来决定鱼的新鲜度.若海鱼的新鲜度与其死亡后时间(小时)满足的函数关系式为.若该种海鱼死亡后2小时，海鱼的新鲜度为，死亡后3小时，海鱼的新鲜度为，那么若不及时处理，这种海鱼从死亡后大约经过（    ）小时后，海鱼的新鲜度变为.(参考数据：，)

A．3.3 B．3.6 C．4 D．4.3

9．如图，已知一底面半径为1，体积为的圆锥内接于球O(其中球心O在圆锥内)，则球O的表面积为（    ）

A．    B． C． D．

10．元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜、放烟花等一系列传统民俗活动，北方“滚”元宵，南方“包”汤圆．某超市在元宵节期间出售个品牌的黑芝麻馅汤圆，个品牌的豆沙馅汤圆，个品牌的五仁馅汤圆．若将这种汤圆随机并排摆在货架的同一层上，则同一种馅料的汤圆相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

11．若的展开式中的系数为，则（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（    ）

A．   B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．向量，.若，则____________

14．《九章算术》是中国古代张苍、耿首昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹节，下节容量升，上节容量升，使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第节容量是 _________________升.(结果保留分数)

15．已知，则______．

16．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，则双曲线C的离心率为__．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．已知在等差数列中，为其前项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为求.

18．第五代移动通信技术简称5G或5G技术，是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继4G系统之后的延伸.为了了解市民对A，B运营商的5G通信服务的评价，分别从A，B运营商的用户中随机抽取100名用户对其进行测评，已知测评得分在70分以上的为优秀，测评结果如表：

A运营商的100名用户的测评得分：

（1）根据频率分布直方图，分别求出B运营商的100名用户的测评得分的中位数和平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为测评得分是否优秀与运营商有关？

附：，其中.

19．如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

20．已知椭圆：，其短轴为2，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

21．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围.

选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

（1）求直线的普通方程；

（2）设，若直线与曲线相交于，两点，求的值．

23．已知函数.

(1)解不等式；

(2)若方程的解集为空集，求k的取值范围

参考答案

1．D

【分析】

利用集合的交、补运算判断A、B，进而由元素与集合的关系判断D的正误，根据已知集合判断A、B是否有包含关系.

【详解】

A：，错误；

B：，错误；

C：没有包含、被包含关系，错误；

D：由A知：，正确.

故选：D.

2．B

【分析】

利用复数的除法运算化简为标准形式，进而根据共轭复数的定义得解.

【详解】

,

,

故选：B.

3．C

【分析】

根据折线图可确定4月17日质量AQI指数，即可判定选项A；求出这20天天气质量AQI指数的最大值和最小值，即可判定选项B；根据折线图中的数据，即可判定选项C；求出空气质量为“优良”的天数，由古典概型公式求出其概率，即可判定选项D.

【详解】

由折线图可知4月17日质量AQI指数为20，是这20天中的最低，

选项A正确；

由折线图可知这20天中天气质量AQI指数的最大值是260，

最小值是20，极差为240，选项B正确；

根据折线图前10天的天气质量AQI指数高于后10天，

选项C错误；

由折线图可知这20天中空气质量为“优良”天数为10天，

所以空气质量为“优良”的概率是0.5，选项D正确.

故选：C.

4C 

【分析】

根据一元二次不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】

由，

由不一定能推出，但是由一定能推出，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：C

5．A

【分析】

对函数f(x)求导，再算出导函数在x=-1时的值，得切线斜率于是得解.

【详解】

，曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线斜率，

曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.

故选：A

6．B

【分析】

解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；

解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.

【详解】

解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

解法二：由已知的函数逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

即为的图象，所以.

故选：B.

7．D

【分析】

直接利用线面平行和线面垂直的判定和性质，以及面面平行和面面垂直的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】

由题意，直线为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，

对于A中，若，，，可能，所以A不正确；

对于B中，若，，，可能，所以B不正确；

对于C中，若，，则与异面或，所以C不正确；

对于D中，由，，可得，又由，所以，所以D正确.

故选：D

8．B

【详解】

由题思可得：，解得，，

所以.令，可得，两边问时取对数，

故小时，故选B.

9．A

【分析】

取底面圆心，即线段AB的中点O1，则有SOO1共线且垂直于底面，再根据勾股定理即可解得.

【详解】

如图所示，

设圆锥的底面圆心为，连接.

因为V圆锥=，所以，设球的半径为，则，解得，所以球的表面积

故选：A.

10．D

【分析】

利用“捆绑法”计算出事件“将这种汤圆随机并排摆在货架的同一层上，则同一种馅料的汤圆相邻”所包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

将个品牌的豆沙馅汤圆、个品牌的黑芝麻馅汤圆分别捆绑，形成两个大“元素”，

所以，同一种馅料的汤圆相邻的排法种数为，

因此，所求事件的概率为.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：

（1）相邻问题采取“捆绑法”；

（2）不相邻问题采取“插空法”；

（3）有限制元素采取“优先法”；

（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.

11．B

【分析】

写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项可得出关于的等式，即可求得实数的值.

【详解】

，

的展开式通项为，

的展开式通项为，

所以，的展开式通项为，

由可得，由题意可得，解得.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：两个二项式乘积的展开式中的特定项问题：

（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；

（2）找到构成展开式中特定项的组成部分；

（3）分别求解在相乘、求和即可.

12．D

【分析】

根据条件判断函数的奇偶性和单调性，然后利用单调性进行比较即可.

【详解】

∵对任意，，均有成立，

∴此时函数为减函数，

∵是偶函数，

∴当时，为增函数，

，

，，

∵，∴，

∵，

∴，

∴，

即，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的奇偶性和单调性，以及利用函数的奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键，是中档题.

13．

【分析】

由，，由可得带入即可得解.

【详解】

，，

，

所以，

故答案为：.

14．

【分析】

记从下部算起第节的容量为，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式可构造关于的方程组，解方程组求得后，利用通项公式可求得.

【详解】

记从下部算起第节的容量为，

由题意可知：数列为等差数列，设其公差为，

则，解得：，

，即从下部算起第节容量是升.

故答案为：.

15．

【分析】

利用二倍角公式化简目标，利用齐次式可得结果.

【详解】

∵，

∴，

故答案为：

16．2

【分析】

先设直线，再与一条直线联立求点的坐标，然后根据中点得点的坐标，再代入另一条渐近线方程中，可得即可求离心率.

【详解】

解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），

过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，

所以AF的方程为：y＝，与bx+ay＝0联立，

可得，，

l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，

可得B（，），代入bx﹣ay＝0，可得：c2＝4a2，

则双曲线C的离心率为e＝2．

故答案为：2．

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键一是求点的坐标，二是计算要准确.

17．（1）；（2），.

【分析】

（1）由条件求得公差，写出通项公式；

（2）求出通项公式，利用分组求和求得，且单增，找到符合的最小n值即可.

【详解】

（1）由等差数列性质知，，则，

故公差，

故

（2）由（1）知，

18．（1）中位数为70，平均值为69.2；（2）答案见解析.

【分析】

（1）由频率分布直方图即可求出中位数和平均值；

（2）根据频率分布表和直方图求出优秀和非优秀数量即可得出列联表，求出卡方值即可判断.

【详解】

（1）由频率分布直方图可知B运营商测评得分在区间的频率为，故B运营商测评得分的中位数为70；

由频率分布直方图可知B运营商测评得分的平均值为；

（2）由频率分布表可知A运营商测评得分优秀的有个，非优秀的有个，

由频率分布直方图可知B运营商测评得分优秀的有个，非优秀的有个，

则可得列联表如下：

则，

所以有99%的把握认为测评得分是否优秀与运营商有关.

19．（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面，从而得证；
（2）由（1）可知，所以即二面角的平面角，在利用锐角三角函数计算可得；

【详解】

（1）∵平面，平面，∴，

∵，，，如图过作交于点，

所以，，所以

∴，，

又平面，，

∴平面，∵平面，∴平面平面．

（2）由（1）知平面，平面，∴，

又有，故即二面角的平面角，

∵平面，平面，∴，所以

因为，所以

在中，，

所以二面角的余弦值为．

20．（1）；（2）是定值，该定值为0．

【分析】

（1）依题意求得，进而可得椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求得的值.

【详解】

（1）由题意可知：，，

椭圆的离心率，则，

∴椭圆的标准方程：；

（2）设直线的方程为．

，消去整理得：．设，，

则，，

．

∴为定值．

【点睛】

关键点点睛：第（2）问的关键点是：得出.

21．（1）答案见解析；（2）或.

【分析】

（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（2）根据（1）的结论，结合函数的极值以及零点个数，求得的取值范围.

【详解】

（1），

当时，由或，所以在，单调递增，

由，所以在单调递减；

当时，由或，所以在，单调递增，由，所以在单调递减；

当时，在单调递增.

（2），，

由（1）知当时，在处，有极大值，且，此时函数有一个零点；

当时，在单调递增，且，此时函数有一个零点；

当时，，单调递增，单调递减，在处，有极小值，

在处，有极大值，则当，或时函数有一个零点，有或.

综上：或.

22．（1）；（2）．

【分析】

（1）消去参数，即可得到直线的普通方程；

（2）首先求出曲线的普通方程，再将直线的参数方程化为标准式，代入曲线中，利用直线参数方程参数的几何意义计算可得；

【详解】

解：（1）因为直线的参数方程为（为参数）．则代入得

所以直线普通方程为，

（2）曲线的参数方程为（为参数），

曲线的普通方程为，将直线的参数方程化为，（为参数）

代入椭圆方程得：，

，

，，同号，

23．(1)；(2).

【分析】

(1)把函数化为分段函数形式，在各段上解不等式即可作答；

(2)化方程为，作出函数图象，利用数形结合的思想即可得解.

【详解】

(1)，则不等式化为：

或或，解得或或，

即，所以不等式的解集为；

(2)，令

方程解集为空集，即直线与函数图象无公共点，在同一坐标系内作出直线和函数图象，如图：

直线是过原点的直线，当它过点A(4，2)时，，当它与直线BC平行时，，

观察图形知，当直线在直线和所夹含x轴的对顶角区域(不包括直线)内绕原点旋转时与函数图象无公共点，即，

所以k的取值范围是.