第二讲  二次根式的乘除

【知识梳理】

（一）二次根式的乘法法则

注意：（1）乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然使用。

（2）利用二次根式的乘法法则进行计算时，如果有带分数先将带分数化为假分数再计算。

（3）在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。

点拨：（1）在进行二次根式乘法运算时，一定不能忽略被开方数都是非负数。在开方时，若被开方数未明确符号，要注意分类讨论。

（2）与有理数乘法类似，二次根式相乘时要先确定积的符号，再把它们的绝对值相乘。

2.二次根式乘法法则的逆用

注意：（1）公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足。

     （2）运用积的算数平方根的性质化简时，要将所有能开得尽方的因数（式）开方。

点拨：（1）化简二次根式时，先将被开方数（式）分解，在进行化简；

（二）二次根式除法法则

注意：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。

（2）如果被开方数是带分数，应先化成假分数，再计算。

（3）运算结果中不能含开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。

2. 二次根式除法法则逆用

注意：（1）公式中的a、b可以是数，也可以是代数式。

（2）公式中的是限制公式右边的条件，对于公式的左边，

只要且b≠0即可。

(三)  最简二次根式

1.最简二次根式的概念

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式。

点拨：（1）二次根式乘除运算的结果要写成最简二次根式的形式；

     （2）被开方数是开不尽方的小数时，不是最简二次根式，要把小数化成分数，再化成最简二次根式。

2.把一个二次根式化成最简二次根式的一般方法

3.分母有理化

【经典例题】

【题型一、最简二次根式】

【例1】下列二次根式中是最简二次根式的是(       )

A．        B．        C．       D．

【例2】化简，正确的是（   ）

A.     B.     C.     D.

【题型二、比较二次根式大小】

【例1】比较大小：

（1）与       （2）与

【题型三、二次根式乘除混合计算】

【例1】计算：（1）    （2）

【题型四、分母有理化的探索】

【例1】观察下列等式：

①；

②；

③；

回答下列问题：

（1）利用你观察到的规律，化简：；

（2）计算：++++

【当堂检测】

1、下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ）

A． B．  C． D．

2、若＝a﹣2，则a与2的大小关系是(　　)

A．a＝2 B．a＞2 C．a≤2 D．a≥2

3、化简的结果是(       )

A．3          B．－3        C±3           D．9

4、如果ab>0，a+b<0，那么下面各式：①；②；③其中正确的是（  ）

A.①②     B.①③     C.②③     D.①②③

5、若一个长方体的长为cm，宽为cm，高为cm，则它的体积为_____cm³。

6、若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=_________.

7、计算：

（1）        （2）          （3）

8、如果（a、b为有理数），求代数式a+b的值。

9、阅读下面问题：

；

.            

 试求：（1）的值；（2）（为正整数）的值.

（3）计算：.

【课后练习】

1、下列根式中，属于最简二次根式的是（  ）

A.     B.     C.     D.

2、等式成立的条件是（   ）

A.     B.     C.     D.

3、下列计算正确的是（   ）

A.     B.     C.     D.

4、比较大小：________.

5、已知a＜0，那么|﹣2a|可化简为_____．

6、计算：

（1）；      （2）；      （3）；

7、把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内：

（1）         （2）（a<0）      （3）

8、如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根。

9、计算并观察下列式子，探索它们的规律。

；

；

。

用正整数n表示这个规律：________________________________________.