数学八年级下册19.2.2 一次函数教学设计

一次函数 精品讲解

考点一　一次函数和正比例函数的定义

一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．

特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．

考点二　一次函数的图象与性质

1．一次函数的图象

(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和的一条直线．

(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．

2．一次函数图象的性质

一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．

考点三　一次函数解析式的确定

常用待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法的一般步骤是：

1．设出函数解析式；

2．根据已知条件求出未知的系数；

3．具体写出这个解析式．

考点四　一次函数与方程、方程组及不等式的关系

1．y＝kx＋b与kx＋b＝0

直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．

2．y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0

从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．

3．一次函数与方程组

两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．

1．一个正比例函数的图象过点(2，－3)，它的表达式为(　　)．

A．y＝－x  B．y＝x   C．y＝x  D．y＝－x

2．若一次函数y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么k和b的符号判断正确的是(　　)．

A．k＞0，b＞0　　B．k＞0，b＜0  C．k＜0，b＞0  D．k＜0，b＜0

3．两直线l1：y＝2x－1，l2：y＝x＋1的交点坐标为(　　)．

A．(－2,3)  B．(2，－3)    C．(－2，－3)  D．(2,3)

4．某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．

(1)分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y(元)和重量x(克)之间的函数关系式；

(2)李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？

一、一次函数的图象与性质

【例1】 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2)是一次函数y＝－4x＋3图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是(　　)．

A．y1＞y2  B．y1＞y2＞0  C．y1＜y2  D．y1＝y2

解析：因为一次函数y＝－4x＋3中k＜0，根据其性质，y随x的增大而减小．所以当x1＜x2时，y1＞y2.

答案：A

解有关一次函数y=kx+b的图象与性质的问题时，应注意以下三点：

①一次函数图象分布特征与k，b的符号之间的关系；②一次函数图象的增减性与k的符号之间的关系；③一次函数与两坐标轴的交点及围成的图形的面积等．

在同一直角坐标系中，函数y＝kx＋1和函数y＝(k是常数且k≠0)的图象只可能是(　　)．

二、求一次函数解析式

【例2】 娄底至新化高速公路的路基工程分段招标，市路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖筑路基的长度y(m)与挖筑时间x(天)之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题：

(1)求在0≤x＜2的时间段内，y与x的函数关系式；

(2)求在x≥2时间段内，y与x的函数关系式；

(3)用所求的函数解析式预测完成1 620 m的路基工程，需要挖筑多少天？

解：(1)当0≤x＜2时，设y与x的函数关系式为y＝kx，∴40＝k.∴y与x的函数关系式为y＝40x(0≤x＜2)．

(2)当x≥2时，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，

由题意，得解之，得

∴y与x的函数关系式为y＝35x＋10(x≥2)．

(3)当y＝1 620时，35x＋10＝1 620，x＝46.

答：需要挖筑46天．

确定一次函数的函数关系式，可先设出函数关系式，再根据条件确定关系式中未知的数．根据图象，由两个点的坐标可确定一次函数关系式，正比例函数只需一个点的坐标即可．

三、一次函数与方程(组)、不等式的关系

【例3】 如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得二元一次方程组的解是__________．

解析：如图所示，二元一次方程组的解就是直线y＝ax＋b与直线y＝kx的交点，所以点P的坐标就是方程组的解，即

答案：

两个函数图象的交点坐标，即满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．

四、一次函数的应用

【例4】 小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O—A—B—C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：

(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为__________千米/分钟；

(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系；

(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？

解：(1)15　

(2)由图象可知，s是t的正比例函数．

设所求函数的解析式为s＝kt(k≠0)，代入(45,4)，得4＝45k，解得k＝.∴s与t的函数关系式s＝t(0≤t≤45)．

(3)由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为s＝mt＋n(m≠0)．

代入(30,4)，(45,0)，

得解得

∴s＝－t＋12(30≤t≤45)．

令－t＋12＝t，解得t＝.

当t＝时，s＝×＝3.

答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．

用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)根据题意，设定问题中的变量；(2)建立一次函数关系式模型；(3)确定自变量的取值范围；(4)与方程或不等式(组)结合解决实际问题．

1．(2012四川乐山)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图象可能是(　　)．

2．(2011黑龙江哈尔滨)一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：升)随行驶里程x(单位：千米)的增加而减小，若这辆汽车平均耗油量为0.2升/千米，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是(　　)．

3．(2011浙江义乌)一次函数y＝2x－1的图象经过点(a,3)，则a＝__________.

4．(2011内蒙古呼和浩特)已知关于x的一次函数y＝mx＋n的图象如图所示，则|n－m|－可化简为__________．

5．(2012山东菏泽)如图，一次函数y＝－x＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，求过B，C两点直线的解析式．

1．一次函数y＝－3x－2的图象不经过(　　)．

A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

2．一次函数y＝(a－2)x＋a－3的图象与y轴的交点在x轴的下方，则a的取值范围是(　　)．

A．a≠2  B．a＜3且a≠2   C．a＞2且a≠3  D．a＝3

3．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是(　　)．

A．摩托车比汽车晚到1 h     B．A，B两地的路程为20 km

C．摩托车的速度为45 km/h    D．汽车的速度为60 km/h

4．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是(　　)．

A．x＜0   B．x＞0   C．x＜2   D．x＞2

5．把直线y＝－2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点(m，n)，且2m＋n＝6，则直线AB的解析式是(　　)．

A．y＝－2x－3  B．y＝－2x－6  C．y＝－2x＋3  D．y＝－2x＋6

6．如果点(－2，m)和都在直线y＝x＋4上，则m，n的大小关系是：__________.

7．点A(－3,4)在一次函数y＝－3x－5的图象上，图象与y轴的交点为B，那么△AOB的面积为________．

8．一辆汽车在行驶过程中，路程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图所示，当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y＝60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为__________．

9．如图，直线y＝x，点A1坐标为(1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为________．

10．星期天8：00～8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y(立方米)与时间x(小时)的函数关系如图所示．

(1)8：00～8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？

(2)当x≥0.5时，求储气罐中的储气量y(立方米)与时间x(小时)的函数解析式；

(3)请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．

参考答案

基础自主导学

自主测试

1．A　2.D　3.D

4．解：(1)y甲＝477x，

y乙＝530×3＋530(x－3)×80%＝424x＋318.

(2)由y甲＝y乙，得477x＝424x＋318，∴x＝6.

由y甲＞y乙，得477x＞424x＋318，则x＞6.

由y甲＜y乙，得477x＜424x＋318，则x＜6.

所以当x＝6时，到甲、乙两个商店购买费用相同．

当4≤x＜6时，到甲商店购买合算．

当6＜x≤10时，到乙商店购买合算．

规律方法探究

变式训练　B

知能优化训练

中考回顾

1．A　2.D　3.2  4．n

5．解：如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，

则∠AOB＝∠CDA＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAO＋∠ABO＝∠BAO＋∠CAD＝90°.

∴∠ABO＝∠CAD.

又∵AB＝AC，∴△ABO≌△CAD.

∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝3.

∵y＝－x＋2与x轴交于点(3,0)，与y轴交于点(0,2)，∴C(5,3)．

设过B，C两点直线的解析式是y＝kx＋b，

则∴

∴过B，C两点直线的解析式为y＝x＋2.

模拟预测

1．A　2.B　3.C　4.D　5.D  6．m＜n　7.7.5

8．y＝100x－40　9.(16,0)

10．解：(1)8 000立方米．

(2)当x≥0.5时，设y＝kx＋b(k≠0)，

则∴

∴y＝－200x＋10 100(x≥0.5)．

(3)当x＝2.5时，y＝－200×2.5＋10 100＝9 600，

＝20＞18.

∴第18辆车在10：30前能加完气．