第02讲-命题和充要条件-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第02讲-命题和充要条件（解析版）
学习目标：
1、理解四种命题及其相互关系；
2、理解充分条件、必要条件及充要条件的意义；
3、理解子集与推出关系。

教学内容

1、已知集合，集合，且，则的取值范围是（ ）
【答案】A
2、已知全集中共有个元素，中有个元素，且非空，求集合的元素个数．
【答案】∵,,∴集合的元素个数有个.
3、已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝，则CUA＝________.
【答案】{0}
【解析】因为A＝，
当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；
n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；
n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1；
n≤－2时，x∉Z.故A＝{－2,2,1，－1}，
又U＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁UA＝{0}．





知识点一：命题的四种形式及其关系
知识梳理
1.命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题．
2.命题的四种形式及相互关系．
（1）一个数学命题用条件，结论表示就是“如果 ，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果 ，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。
（2）如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。
（3）命题、的否定分别记作、。
（4）如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。
（5）四种命题形式及其相互关系:

（6）四种命题的真假关系：
1）原命题为真，它的逆命题不一定真；
2）原命题为真，它的否命题不一定真；
3）原命题为真，它的逆否命题一定为真．

（7）常见结论的否定形式：（拓展内容）
原结论
否定形式
原结论
否定形式
是
不是
至少有一个
没有
都是
不都是
至多有一个
至少有二个
大于
小于或等于
至少有个
至多有-1个
小于
大于或等于
至多有个
至少有+1个
对所有的成立
存在不成立
或
非且非
对任何的不成立
存在成立
且
非或非

3.充分条件与必要条件：
若但反之不成立，则是的充分不必要条件；
若但反之不成立，则是的必要不充分条件；
若且，即，则是的充要条件；
若与都不成立，则是的既不充分也不必要条件．
4.子集与推出关系
设
若，则的充分条件；
若，则的必要条件；
若，则的充分非必要条件；
若，则的必要非充分条件；
若，则的充要条件。
5.反证法：是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论，一般步骤为：
假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；
从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
例题精讲
考点1 命题的判定
例1.命题“若，则”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假
【答案】逆命题：若，则 （假，如，）
否命题：若，则 （假，如，）
逆否命题：若，则 （真，∵）

例2.有4个命题：
（1） 没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球； （4）所有女生都爱踢足球；
其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______
【答案】（3）
例3.下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“若，则”的否命题；
③“正三角形的三个角均为”的逆否命题，
其中真命题的序号是______(把所有真命题的序号填在横线上)．
【答案】②③.
【解析】①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；
②“若，则”的否命题为“若则”，而由可得都不为零，故，所以该命题是真命题；
③由于原命题“正三角形的三个角均为”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题．故填②③.

例4.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
⑴“负数的平方是正数”；
⑵“若和都是偶数，则是偶数”；
⑶“当时，若，则”；
⑷“若，则且”；
【答案】⑴逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．（假）
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．（假）
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．（真）
⑵逆命题：若是偶数，则和都是偶数．（假）
否命题：若和不全是偶数，则不是偶数．（假）
逆否命题为：若不是偶数，则和不都是偶数．（真）
⑶分析：“当时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是，结论是．
逆命题：当时，若，则．（真）
否命题：当时，若，则．（真）
逆否命题：当时，若，则．（真）
⑷逆命题：若且，则．（真）
否命题：若，则或．（真）
逆否命题：若或，则．（假）

例5.已知命题：方程有两个不相等的实负根，命题：方程无实根；若与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】由命题可以得到： ∴
由命题可以得到： ∴
因为有且仅有一个为真
当为真，为假时，
当为假，为真时，
所以，的取值范围为或．
考点2 等价命题
例6.与“一元二次方程有一正根、一负根”等价的命题是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D

例7.命题：已知a，b为实数，若有非空解集，则。写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假？
【答案】逆命题：已知a，b为实数，若，则有非空解集
否命题：已知a，b为实数，若没有非空解集，则
逆否命题：已知a，b为实数，若，则没有非空解集
通过原命题为真得出逆否命题为真，通过否命题为真的出你逆命题为真。




巩固练习
1、有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若，则有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】①的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题；
②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题；
③为真命题，∵时，一元二次方程的判别式，故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题；
④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”.
2、原命题：“设，若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（　　）个．
A． 　B．　　 　C．　 　　D．
【答案】C
【解析】逆命题和否命题是真命题．

3、命题：“若，则”的逆否命题是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若或，则 D．若或，则
【答案】D
4、有下列四个命题：①命题“若，则，互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若，则有实根”的逆否命题；④命题“若，则”的逆否命题．
其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．
【答案】①②③
【解析】①、②显然正确；③当时，有，∴方程有实数根，即原命题为真，
∴它的逆否命题也为真；④则，∴原命题为假，因而其逆否命题也为假．




5．下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；
②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；
③“x>2”是“