高中第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教学设计

教学基本信息

课题

向量的数量积

学科

数学

学段：高中

年级

高一

教材

书名：普通高中教科书 数学必修 第二册 出版社：人民教育出版社 A版

出版日期：2019年6月

教学目标及教学重点、难点

本节主要通过物理中功的模型，理解平面向量数量积的概念及其物理意义；通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义；探究向量数量积的重要性质，并能运用数量积的概念及性质解决相关问题，从中培养学生的逻辑推理素养和数学运算素养．

教学重点：向量数量积的概念、向量投影的概念以及投影向量的意义．

教学难点：投影向量的意义．

教学过程(表格描述)

教学

环节

主要教学活动

设置

意图

创设

问题

情境

引出

新课

前面我们类比实数学习了向量，类比实数的加法学习了向量的加法，类比实数的减法学习了向量的减法，知道了向量加法、减法和数乘运算，统称为向量的线性运算．向量的加法运算是向量与向量相加的运算，结果是向量，向量的减法运算是向量与向量相减的运算，结果仍是向量，向量的数乘运算可以看作是实数与向量相乘的运算，结果也是向量，自然我们会类比实数的乘法提出问题：向量与向量能否相乘呢？相乘的结果还是向量吗？

激发学生探究新知的兴趣，

引出新课．

探究向量

数量

积的

概念

问题1：回顾之前学习向量线性运算的过程，我们都是按照怎样的路径学习的？

物理模型→概念→性质→运算律→应用．

问题2：物理知识中，有没有关于两个矢量相乘的背景?

一起回顾物理中学过的功的概念：

如图所示，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的的功为

,

其中是F与s的夹角．

观察这个公式的特点，

等号左边的W（功）是标量，等号右边的力F和位移s都是矢量．

问题3：功是一个标量，由力和位移两个向量来确定，能否把“功”看成两个“向量”相乘的结果呢？受此启发，要定义向量的乘法，我们需要先定义什么？

    观察力做功的计算公式，其中除了涉及力和位移两个向量，还涉及力与位移的夹角，所以我们先定义向量夹角．

已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作，

，则

叫做向量与的夹角．

注意：向量夹角遵循“同起点”原则.

思考  如图，在中，你能指出向量与的夹角吗？向量与的夹角呢？

向量与的夹角为，

向量与的夹角为.

问题4：根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角是什么？

（1）当向量与同向时，，当时，向量与同向；

（2）当向量与反向时，，当时，向量与反向；

（3）当向量与垂直时，，反之，若，则向量与垂直，记作．

定义向量的数量积

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积（inner product）），记作，即

．

对定义进行说明：

（1）首先注意：“”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替；

（2）“规定”：零向量与任何向量的数量积为零．

问题5：对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关？数量积运算结果的符号由什么决定？

（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量；

（2）这个数量的大小与两个向量的长度及夹角有关.

；

；

．

通过物理中功的模型引出向量夹角概念及向量数量积概念．

例题

讲解

巩固

新知

例1 已知，，与的夹角，求.

解：

.

例2  已知，，，求与的夹角.

解：由得

.

     因为，所以.

注意：（1）求向量夹角时，注意夹角范围；

（2）已知，，，中任意三个量，可求另外一个量.

通过例题，巩固加深对数量积定义的理解，在知三求一过程中体会方程思想．

深化理解定义

探究投影向量的表示

问题6：我们在研究力F所做的功W时得到，力F在位移方向上的分力对功W起到最关键的作用，如何做力F在位移方向上的分力?

    找力在位移方向的分力的过程抽象成数学问题就是通过投影找投影向量的过程，接下一起认识向量投影和投影向量．

如图1，设,是两个非零向量，，,我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，向量叫做向量在向量上的投影向量.

如图2，我们可以在平面内任取一点O，作，，过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.

图1                        图2

追问1:投影向量是向量，它的大小和方向如何表示呢？

数乘运算中得到如下结论：任一向量都可表示为它的模与它同方向的单位向量的乘积：

=| | （是与同向的单位向量）.

追问2：投影向量有类似结论吗？

问题7：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？

显然，与共线，于是

.

下面我们探究与，的关系，进而给出的明确表达式.

我们分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论.

当为锐角时，与方向相同，，

，所以

；

当为直角时，，所以

     ；

当为钝角时，与方向相反，，所以

，

即.                                    

当时，，所以

    ；

当时，，所以

；

从以上的讨论可知，对于任意的，都有

.

借助力做功模型，引出向量投影与投影向量的概念，通过分类讨论，探究投影向量的明确表达式，加深对投影向量意义的理解.

探究向量的数量积的性质

在探究投影向量的表达式时，我们发现当两个非零向量处于特殊位置关系时，投影向量也具有特殊性，那它们的数量积又有怎样的特殊性？

问题8：当向量特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？

特殊向量：零向量、单位向量.

零向量与任一向量的数量积为0.

追问：设为任一非零向量， 是单位向量，与的数量积有怎样的特殊性？

.

证明：因为；

；

所以.

此性质体现了单位向量与任一向量数量积的可交换性.

问题9：当两向量的位置关系特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？

设，是非零向量，它们的夹角是，若与垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？

.

证明：当向量时，， ，

所以.

反之当时，由于，

则， ，因此.

设，是非零向量，它们的夹角是，若与共线，它们的数量积有怎样的特殊性？

当与同向时，；

当与反向时，.

特别地，或.

问题10：设，是非零向量，与有怎样的大小关系？

由可以得到.

证明：由数量积的定义，

可以导出，

由于， 即，

所以.

通过对特殊向量及向量特殊位置关系时数量积的探究，总结向量数量积的性质，深化理解向量的数量积.

总结

1．向量与的夹角；

2．向量与的数量积；

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积（inner product）），记作，即

．

3．向量在向量上的投影向量：；

（是与方向相同的单位向量）

4．数量积的重要性质：

设,是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则

（1）；

（2）；

（3）当与同向时，；

当与反向时，.

特别地，或；

此外，由还可以得到

（4）.

对本节课知识进行总结回顾，构建向量数量积的知识体系.

作业

作业1

1．已知，，和的夹角是，求.

2．已知中，，当或时，试判断的形状.

3．已知，为单位向量，当向量， 的夹角分别等于，，时，求向量在向量上的投影向量.

作业2

结合下面问题写出你的学习感想.

你认为本节中哪个知识最重要？最有用？需要注意的关键之处是什么？

【课后作业1参考答案】

1．.

2．当时，为钝角三角形；当时，为直角三角形.

3．投影向量分别为，0，.

实施

应用