人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时当堂检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时当堂检测题，共7页。
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A． eq \r(3) ＋1 B．2 eq \r(3) ＋1
C．2 eq \r(6) D．2＋2 eq \r(3)
【解析】选C.由已知及正弦定理，
得 eq \f(4,sin 45°) ＝ eq \f(b,sin 60°) ，
所以b＝ eq \f(4sin 60°,sin 45°) ＝ eq \f(4×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2)) ＝2 eq \r(6) .
2．已知在△ABC中，b＝4 eq \r(3) ，c＝2，C＝30°，那么解此三角形可得( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．解的个数不确定
【解析】选C.由正弦定理得sin B＝ eq \f(b,c) ·sin C＝ eq \f(4\r(3),2) × eq \f(1,2) ＝ eq \r(3) >1，故三角形无解．
3．(2021·贵阳高一检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b sin A＝2c sin B，cs B＝ eq \f(1,4) ，b＝3，则△ABC的面积为( )
A．9 eq \r(15) B． eq \f(9\r(15),16)
C． eq \f(3\r(15),16) D． eq \f(9,16)
【解析】选B.由b sin A＝2c sin B结合正弦定理得，ab＝2bc，即a＝2c，
因为cs B＝ eq \f(1,4) ，b＝3，
由余弦定理可得， eq \f(1,4) ＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(4c2＋c2－9,2×2c2) ，
解得c＝ eq \f(3,2) ，a＝3，
又sin B＝ eq \r(1－cs2B) ＝ eq \f(\r(15),4) ，
则△ABC的面积S＝ eq \f(1,2) ac sinB＝ eq \f(1,2) ×3× eq \f(3,2) × eq \f(\r(15),4) ＝ eq \f(9\r(15),16) .
4．(2021·济南高一检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b sin A＝a cs B，b＝2，c＝ eq \r(6) ，则角C为( )
A． eq \f(2π,3) B． eq \f(5π,6)
C． eq \f(π,6) 或 eq \f(5π,6) D． eq \f(π,3) 或 eq \f(2π,3)
【解析】选D.因为b sin A＝a cs B，b＝2，c＝ eq \r(6) ，
所以sin B sin A＝sin A cs B，
因为sin B＞0，
所以sin B＝cs B，即tan B＝1，
所以B＝ eq \f(π,4) ，
因为b＝2，c＝ eq \r(6) ，
由正弦定理得， eq \f(2,sin \f(π,4)) ＝ eq \f(\r(6),sin C) ，
所以sin C＝ eq \f(\r(3),2) ，
因为b＜c，所以B＜C，所以C＝ eq \f(π,3) 或 eq \f(2π,3) .
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则 eq \f(2sin A－sin B,sin C) ＝________．
【解析】设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，
由正弦定理，得 eq \f(2sin A－sin B,sin C) ＝ eq \f(2×4k－3k,5k) ＝1.
答案：1
6．(2021·六安高一检测)在△ABC中，b＝7，B＝ eq \f(2π,3) ，cs A＝ eq \f(13,14) ，则a＝________．
【解析】△ABC中，b＝7，B＝ eq \f(2π,3) ，cs A＝ eq \f(13,14) ，
所以sin A＝ eq \r(1－cs2A) ＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,14)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(3\r(3),14) ；
由正弦定理得 eq \f(a,sinA) ＝ eq \f(b,sin B) ，
所以a＝ eq \f(b sin A,sin B) ＝ eq \f(7×\f(3\r(3),14),\f(\r(3),2)) ＝3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝ eq \r(2) ，求a，b及cs B.
【解析】因为A＝30°，C＝45°，c＝ eq \r(2) ，
所以由正弦定理，得a＝ eq \f(c sin A,sin C) ＝ eq \f(\r(2)sin 30°,sin 45°) ＝1.
又B＝180°－(30°＋45°)＝105°，
所以cs B＝cs 105°＝cs (45°＋60°)＝ eq \f(\r(2)－\r(6),4) ，
b＝ eq \f(c sin B,sin C) ＝ eq \f(\r(2)sin 105°,sin 45°) ＝2sin 105°
＝2sin (45°＋60°)＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),2) .
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 eq \f(cs A－2cs C,cs B) ＝ eq \f(2c－a,b) .
(1)求 eq \f(sin C,sin A) 的值；
(2)若cs B＝ eq \f(1,4) ，△ABC的周长为5，求b的长．
【解析】(1)由正弦定理可设
eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ＝k，
则 eq \f(2c－a,b) ＝ eq \f(2k sin C－k sin A,k sin B)
＝ eq \f(2sin C－sin A,sin B) ，
所以 eq \f(cs A－2cs C,cs B) ＝ eq \f(2sin C－sin A,sin B) ，
即(cs A－2cs C)sin B＝(2sin C－sin A)cs B，
化简可得sin (A＋B)＝2sin (B＋C).
又A＋B＋C＝π，
所以sin C＝2sin A，
因此 eq \f(sin C,sin A) ＝2.
(2)由 eq \f(sin C,sin A) ＝2，得c＝2a.
由余弦定理及cs B＝ eq \f(1,4) ，
得b2＝a2＋c2－2ac cs B＝a2＋4a2－4a2× eq \f(1,4) ＝4a2，所以b＝2a.
又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝( eq \r(3) ，－1)，n＝(cs A，sin A)，若m⊥n，且a cs B＋b cs A＝c sin C，则角A，B的大小分别为( )
A． eq \f(π,6) ， eq \f(π,3) B． eq \f(2π,3) ， eq \f(π,6)
C． eq \f(π,3) ， eq \f(π,6) D． eq \f(π,3) ， eq \f(π,3)
【解析】选C.因为m⊥n，
所以 eq \r(3) cs A－sin A＝0，
所以tan A＝ eq \r(3) ，则A＝ eq \f(π,3) .
由正弦定理得原式＝sin A cs B＋sin B cs A＝sin2C，
所以sin(A＋B)＝sin2C，
所以sinC＝sin2C.
因为0