高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念第2课时习题

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6.4.3　余弦定理、正弦定理第2课时　正弦定理课后·训练提升基础巩固1.在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是(　　)A. B. C. D.解析根据正弦定理,得.答案A2.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是(　　)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形解析由题意有=b=,则sin B=1,又B∈(0,π),故角B为直角,故△ABC是直角三角形.答案B3.在△ABC中,若,则C的值为(　　)A.30° B.45° C.60° D.90°解析由正弦定理知,∴,∴cos C=sin C,∴tan C=1,又C∈(0°,180°),∴C=45°.故选B.答案B4.在△ABC中,若A=105°,B=45°,b=2,则c等于(　　)A.1 B.2 C. D.解析∵A=105°,B=45°,∴C=30°.由正弦定理,得c==2.答案B5.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B等于(　　)A.- B. C.- D.解析由正弦定理,得,∴sin B=.∵a>b,∴A>B,又A=60°,∴B为锐角.∴cos B=.答案D6.在△ABC中,已知A=,a=,b=1,则c的值为(　　)A.1 B.2 C.-1 D.解析由正弦定理,可得,∴sin B=.由a>b,得A>B,∴B∈,∴B=.故C=,由勾股定理得c=2.答案B7.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A等于(　　)A. B. C. D.解析如图,设BC边上的高为AD,不妨令AD=a.由B=,知BD=a.又AD=BC=BD,∴DC=2a,AC=a.由正弦定理,知sin∠BAC=·3a=.答案D8.在△ABC中,A=,a=c,则B=　　　　　,=　　　　　. 解析在△ABC中,A=,a=c,由正弦定理,得,,sin C=,由于c<a,且C∈(0,π).故C=,则B=π-.三角形是等腰三角形,B=C,则b=c,则=1.答案　19.在△ABC中,若C=2B,则的取值范围为　　　　　. 解析因为A+B+C=π,C=2B,所以A=π-3B>0,所以0<B<,所以<cos B<1.因为=2cos B,所以1<2cos B<2,故1<<2.答案(1,2)10.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,求B.解由正弦定理,得sin B=.∵a>b,∴A>B,∴B只有一解,∴B=45°.能力提升1.在△ABC中,已知B=60°,最大边与最小边的比为,则三角形的最大角为(　　)A.60° B.75° C.90° D.115°解析不妨设a为最大边,c为最小边,由题意有,即.整理得(3-)sin A=(3+)cos A.∴tan A=2+,又A∈(0°,120°),∴A=75°.故选B.答案B2.在△ABC中,a=4,b=,5cos(B+C)+3=0,则角B的大小为(　　)A. B. C. D.π解析由5cos(B+C)+3=0,得cos A=,∴A∈,∴sin A=.由正弦定理得,即,∴sin B=.又a>b,∴A>B,且A∈,∴B必为锐角,∴B=.答案A3.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则=　　　　　. 解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2,∴=2R=2,∴=2+1+4=7.答案74.锐角三角形的内角分别是A,B,C,并且A>B.则sin A+sin B和cos A+cos B的大小关系为　　　　　　　　. 解析在锐角三角形中,∵A+B>,∴A>-B,函数y=sin x在区间上是增函数,则有sin A>sin,即sin A>cos B,同理sin B>cos A,故sin A+sin B>cos A+cos B.答案sin A+sin B>cos A+cos B5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　　. 解析在△ABC中,由cos A=,cos C=,可得sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,又a=1,由正弦定理得b=.答案6.在△ABC中,若a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,则的值为　　　　　. 解析由正弦定理知,,代入,得===0.答案07.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=,cos A=,b=.(1)求sin C的值;(2)求a的值.解(1)∵B=,cos A=,∴C=-A,sin A=,∴sin C=sin cos A+sin A=.(2)由(1),知sin A=,又B=,b=, ∴由正弦定理,得a=.8.在△ABC中,a=3,b=2,B=2A.(1)求cos A的值;(2)求c的值.解(1)因为a=3,b=2,B=2A.所以在△ABC中,由正弦定理得,即.所以.故cos A=.(2)由(1)知cos A=,所以sin A=.又因为B=2A,所以cos B=2cos2A-1=.所以sin B=.在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.所以c==5.