人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第3课时同步训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第3课时同步训练题，共8页。
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( )
A．a，c，α B．b，c，α
C．c，a，β D．b，α，γ
【解析】选D.由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC.
2．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )

A．12 m B．8 m C．3 eq \r(3) m D．4 eq \r(3) m
【解析】选D.由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理，得 eq \f(AB,sin C) ＝ eq \f(AC,sin B) ，
即AB＝ eq \f(AC·sin C,sin B) ＝ eq \f(4·sin 120°,sin 30°) ＝4 eq \r(3) .
3．三国(220年－280年)是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权．元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰(2小时)能走300公里，一天走10个小时，十天能到达．吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城( )
( eq \r(7) ≈2.65)
A．七 B．八 C．九 D．十
【解析】选C.可以把魏蜀吴三国的都城位置分别记为A，B，C，由题意可知AB＝1 000公里，BC＝1 500公里，∠ABC＝60°，
由余弦定理得
AC＝ eq \r(1 0002＋1 5002－2×1 000×1 500×\f(1,2)) ＝500 eq \r(7) ≈1 325公里，
1 325÷15÷10≈8.8(天)，
故叛徒大约九天能到达目的地．
4．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为( )
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
【解析】选B.设t小时后，B市恰好处于危险区内，
则由余弦定理得：
(20t)2＋402－2×20t×40cs 45°＝302.
化简得：4t2－8 eq \r( ,2) t＋7＝0，
所以t1＋t2＝2 eq \r( ,2) ，t1t2＝ eq \f(7,4) .
从而|t1－t2|＝ eq \r(（t1－t2）2－4t1t2) ＝1.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知A船在灯塔C北偏东80°，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________.
【解析】在△ABC中，∠ACB＝40°＋80°＝120°，AB＝3 km，AC＝2 km.
设BC＝a km.
由余弦定理，得cs ∠ACB＝ eq \f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC) ，
即cs 120°＝ eq \f(a2＋a－9,4a) ，
解得a＝ eq \r(6) －1或a＝－ eq \r(6) －1，
即B到C的距离为a＝( eq \r(6) －1)千米．
答案：( eq \r(6) －1)千米
6．(2021·福州高一检测)如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°；从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．
【解析】在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.
因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.
由正弦定理，得 eq \f(BD,sin ∠DAB) ＝ eq \f(AD,sin ∠ABD) ，
所以 eq \f(200,sin 30°) ＝ eq \f(AD,sin 120°) .
所以AD＝ eq \f(200×sin 120°,sin 30°) ＝200 eq \r(3) (米).
在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，
所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cs ∠ADC＝(200 eq \r(3) )2＋3002－2×200 eq \r(3) ×300×cs 150°＝390 000，
所以AC＝100 eq \r(39) (米).
故石竹山这条索道AC长为100 eq \r(39) 米．
答案：100 eq \r(39)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．一海轮以20海里/小时的速度向正东航行，它在A点时测得灯塔P在船的北偏东60°方向上，2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45°方向上．求：
(1)船在B点时与灯塔P的距离；
(2)已知以点P为圆心，55海里为半径的圆形水域内有暗礁，那么船继续向正东航行，有无触礁的危险？
【解析】(1)如图：
在△ABP中，∠PAB＝30°，∠ABP＝135°，
所以∠APB＝15°.
由正弦定理得 eq \f(BP,sin 30°) ＝ eq \f(AB,sin 15°) ，
所以BP＝20( eq \r(6) ＋ eq \r(2) ).
(2)过P作PD⊥AB，D为垂足．
PD＝BP sin 45°＝20 eq \r(3) ＋20