2021学年第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行同步训练题

平面与平面平行的判定

[A级　基础巩固]

1．正方体的六个面中相互平行的平面有(　　)

A．2对　　　　　　　 B．3对

C．4对  D．5对

解析：选B　由正方体模型可知，六个面中共有3对相对的面互相平行．

2．若结论“如果平面α内有三点到平面β的距离相等，那么α∥β”是正确的，则这三点必须满足的条件是(　　)

A．这三点不共线

B．这三点不共线且在β的同侧

C．这三点不在β的同侧

D．这三点不共线且在β的异侧

解析：选B　首先这三点必须能确定一个平面，即要求这三点不共线；其次这三点必须在平面β的同侧，确定的平面才会和平面β平行，如果在平面β的异侧，那么确定的平面和平面β相交．

3．正方体EFGH­E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是(　　)

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1H与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

解析：选A　在平面E1FG1与平面EGH1中，因E1G1∥EG，FG1∥EH1，且E1G1∩FG1＝G1，EG∩EH1＝E，故平面E1FG1∥平面EGH1.故选A.

4．(多选)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

解析：选CD　对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选C、D.

5．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：

①若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；

②若m∥α，m∥β，则α∥β；

③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.

其中正确命题的个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选B　对于①，设相交直线m，n确定一个平面γ，则有γ∥α，γ∥β，∴α∥β，故①正确；②③显然不正确．故选B.

6．六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有______对．

解析：如图所示，由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．

答案：4

7．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．

解析：若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾．故α∥β.

答案：平行

8．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.

其中正确结论的序号是________．

解析：把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确．

答案：①②③④

9.在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形．求证：平面ABC∥平面A1B1C1.

证明：∵四边形AA1B1B是平行四边形，

∴A1B1∥AB，又A1B1⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴A1B1∥平面ABC，同理B1C1∥平面ABC，

而A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1⊂平面A1B1C1，

∴平面A1B1C1∥平面ABC.

10.如图，已知在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.

证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.

又∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，

∴MQ∥BC，且BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，

∴MQ∥平面PBC.

又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ，

∴平面MNQ∥平面PBC.

[B级　综合运用]

11．已知直线l，m，平面α，β，下列叙述正确的是(　　)

A．l∥β，l⊂α⇒α∥β

B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β

C．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β

D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β

解析：选D　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB∥平面DC1，直线AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误．取BB1的中点E，CC1的中点F，连接EF，则EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误．直线AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误．选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．

12．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作(　　)

A．1个或2个  B．0个或1个

C．1个  D．0个

解析：选B　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．

13．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

①若α∥β，γ∥β，α∥γ；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③若α∥β，l⊂α，则l∥β；

④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中正确结论的编号为________．(请写出所有正确结论的编号)

解析：对于①，由面面平行的传递性可知①正确；对于②，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，所以②错；对于③，若两个平面平行，其中一个平面内的任一条直线都与另一个平面平行，所以③正确；对于④，因为α∩β＝l，β∩γ＝m，l∥γ，所以l∥m，同理l∥n，由平行线的传递性可得m∥n，所以④正确．

答案：①③④

14.如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.求证：平面BCE∥平面ADF.

证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，

又BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，

∴BC∥平面ADF.∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，

∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，

又BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，

∴BE∥平面ADF.

又BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，BC∩BE＝B，

∴平面BCE∥平面ADF.

[C级　拓展探究]

15．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

因为Q为CC1的中点，P为DD1的中点，

所以QB∥PA.

而QB ⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，

所以QB∥平面PAO.

如图，连接DB，因为P，O分别为DD1，DB的中点，

所以PO为△DBD1的中位线，

所以D1B∥PO.

而D1B ⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，

所以D1B∥平面PAO.

又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.