高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行课时练习，共6页。

1．两个平行平面与另两个平行平面相交得四条直线的位置关系是( )
A．两两相互平行
B．两两相交于同一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
解析：选A 根据平面与平面平行的性质可知，所得四条直线两两相互平行．故选A.
2．已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，那么a与b的位置关系可能是( )
A．平行或相交 B．相交或异面
C．平行或异面 D．平行、相交或异面
解析：选D 当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，
显然满足题目条件；在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β、平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件．故选D.
3．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )
A．AB∥CD B．AD∥CB
C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面
解析：选D 充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．故选D.
4．(多选)α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥c,b∥c))⇒a∥b B.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥γ,b∥γ))⇒a∥b
C.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥c,β∥c))⇒α∥β D．eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∩γ＝a,β∩γ＝b,α∥β))⇒a∥b
解析：选AD 对于A，由平行线的传递性可知，A正确；
对于B，两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线可能相交，也可能异面，故B不正确；
对于C，两个平面都与同一条直线平行，则这两个平面可以平行，也可以相交，故C不正确；
对于D，由面面平行的性质定理可知，D正确．
5.如图，在多面体ABC­DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则( )
A．BF∥平面ACGD
B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG
D．平面ABED∥平面CGF
解析：选A 如图所示，取DG的中点M，连接AM，FM，
则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，
∴DE∥FM，且DE＝FM.
∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，
∴AB∥DE，
∴AB∥FM.
又AB＝DE，
∴AB＝FM，
∴四边形ABFM是平行四边形，
∴BF∥AM.
又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，
∴BF∥平面ACGD.故选A.
6．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列命题：
①a与β内的所有直线平行；
②a与β内无数条直线平行．
其中真命题的序号是________．
解析：由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确．
答案：②
7．六棱柱的两底面为α，β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，则AB与CD的位置关系是______．
解析：因为AD∥BC，且平面ABCD∩α＝AB，平面ABCD∩β＝CD，又α∥β，所以AB∥CD.
答案：平行
8.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC与N，则MN＝______AC.
解析：∵平面MNE∥平面ACB1，∴ME∥AB1，NE∥CB1.
∵BE＝EB1，∴AM＝MB，BN＝NC.∴MN綉eq \f(1,2)AC.
答案：eq \f(1,2)
9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
证明：如图，过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，
则eq \f(B1E,B1A)＝eq \f(B1G,B1B).
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
∴eq \f(C1F,C1B)＝eq \f(B1G,B1B).∴FG∥B1C1∥BC，
易得EG∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，
又∵EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABCD，
又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.
10.如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.证明：Q为BB1的中点．
证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，所以平面QBC∥平面A1AD.
从而平面α与这两个平面的交线互相平行，即QC∥A1D.
故△QBC与△A1AD的对应边互相平行，于是△QBC∽△A1AD.
所以eq \f(BQ,BB1)＝eq \f(BQ,AA1)＝eq \f(BC,AD)＝eq \f(1,2)，即Q为BB1的中点．
[B级 综合运用]
11．(多选)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝eq \f(2,3)BD1.则以下四个说法，其中说法正确的是( )
A．MN∥平面APC
B．C1Q∥平面APC
C．A，P，M三点共线
D．平面MNQ∥平面APC
解析：选BC A项，MN∥AC，连接AM，CN(图略)，得AM，CN交于点P，即MN⊂平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；B项，将平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正确的；C项，由BP＝eq \f(2,3)BD1，以及B项知△APB∽△MPD1，所以A，P，M三点共线，是正确的；D项，将直线AP延长到M，则M既在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．
12.如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，则eq \f(S△A′B′C′,S△ABC)＝________．
解析：∵平面α∥平面ABC，
∴AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′.由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，∴△ABC∽△A′B′C′.∵△PAB∽△PA′B′，PA′∶AA′＝2∶3，∴eq \f(A′B′,AB)＝eq \f(PA′,PA)＝eq \f(2,5)，∴eq \f(S△ A′B′C′,S△ABC)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A′B′,AB)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(PA′,PA)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,25).
答案：eq \f(4,25)
13．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状是________，截面的面积是________．
解析：如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，AD1，
因为MN∥AD1，AD1∥BC1，
故MN∥BC1，
且MN＝eq \f(1,2)BC1＝eq \r(2).
则截面MNBC1为梯形，且为等腰梯形，MC1＝BN＝eq \r(5)，可得梯形的高为eq \f(3,\r(2))，所以梯形的面积为eq \f(1,2)(eq \r(2)＋2eq \r(2))×eq \f(3,\r(2))＝eq \f(9,2).
答案：等腰梯形 eq \f(9,2)
14.如图，已知在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq \f(AD,DC)的值．
解：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，所以BC1∥D1O，
所以D1为线段A1C1的中点，
所以D1C1＝eq \f(1,2)A1C1.
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，
平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，所以AD1∥DC1.
又因为AD∥D1C1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形，
所以AD＝C1D1＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)AC，所以eq \f(AD,DC)＝1.
[C级 拓展探究]
15．在底面是菱形的四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝eq \r(2)a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)证明：l∥CD；
(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，
所以AB∥CD.
又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AB∥平面PCD.
又AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l.
所以AB∥l，所以l∥CD.
(2)存在．当F是PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明：如图，取PC的中点F，PE的中点M，连接FM.
由于M为PE的中点，F为PC的中点，
所以FM∥CE.
由M为PE的中点，PE∶ED＝2∶1，得EM＝eq \f(1,2)PE＝ED，所以E是MD的中点．
连接BM，BD.设BD∩AC＝O，连接OE.因为四边形ABCD是菱形，所以O为BD的中点．
所以BM∥OE.
又MF∩MB＝M，CE∩OE＝E，MF，MB⊂平面BFM，CE，OE⊂平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC.
又BF⊂平面BFM，
所以BF∥平面AEC.