高中数学第四章 指数函数与对数函数4.1 指数第一课时学案

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第一课时 n次方根
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一名成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数eq \r(2)的诞生．
[问题] 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎样表示？



知识点 n次方根
1．n次方根
2．根式
(1)定义：式子eq \a\vs4\al(\r(n,a))叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数；
(2)性质：(n>1，且n∈N*)
①(eq \r(n,a))n＝eq \a\vs4\al(a)；
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(a)，n为奇数，,|a|，n为偶数.))
eq \a\vs4\al()
1．在根式符号eq \r(n,a)中，注意以下几点：
(1)n>1，n∈N*；
(2)当n为奇数时，eq \r(n,a)对任意a∈R都有意义；
(3)当n为偶数时，eq \r(n,a)只有当a≥0时才有意义．
2.eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n的区别
(1)eq \r(n,an)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a；
(2)(eq \r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) eq \r(6,（－2）2)＝eq \r(3,－2).( )
(2)eq \r(4,16)的运算结果是±2.( )
(3)81的4次方根是±3.( )
(4)当n为大于1的奇数时， eq \r(n,a)对任意a∈R都有意义．( )
(5)当n为大于1的偶数时， eq \r(n,a)只有a≥0时才有意义．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．在① eq \r(4,（－4）2n)；② eq \r(4,（－4）2n＋1)；③eq \r(5,a4)；④eq \r(4,a5)(n∈N，a∈R)各式中，一定有意义的是________(填序号)．
解析：(－4)2n>0，故①有意义；(－4)2n＋1<0，故②无意义；③显然有意义；当a<0时，a5<0，此时eq \r(4,a5)无意义，故④不一定有意义．
答案：①③
3．当x<0时，x＋eq \r(4,x4)＋eq \f(\r(3,x3),x)＝________．
答案：1
[例1] (1)16的平方根为________，－27的5次方根为________；
(2)已知x7＝6，则x＝________；
(3)若eq \r(4,x－2)有意义，则实数x的取值范围是________．
[解析] (1)∵(±4)2＝16，
∴16的平方根为±4.－27的5次方根为eq \r(5,－27).
(2)∵x7＝6，∴x＝eq \r(7,6).
(3)要使eq \r(4,x－2)有意义，
则需x－2≥0，即x≥2.
因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．
[答案] (1)±4 eq \r(5,－27) (2)eq \r(7,6) (3)[2，＋∞)
eq \a\vs4\al()
判断关于n次方根的注意点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；
(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．
[跟踪训练]
1．(多选)已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子，其中有意义的是( )
A.eq \r(4,－22n) B.eq \r(3,（－2）2n＋1)
C.eq \r(4,（－2）2n) D.eq \r(3,－a2)
解析：选BCD ∵－22n<0，∴eq \r(4,－22n)无意义，B、C、D都有意义．
2．若 eq \r(（3a－1）2)＝ eq \r(3,（1－3a）3)，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
解析：选C eq \r(（3a－1）2)＝|3a－1|, eq \r(3,（1－3a）3)＝1－3a.因为|3a－1|＝1－3a，故3a－1≤0，所以a≤eq \f(1,3).
[例2] (链接教科书第105页例1)化简与求值：
(1) eq \r(3,（－5）3)；
(2) eq \r(4,（－9）2)；
(3) eq \r(6,4a2－4a＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a≤\f(1,2)))；
(4) eq \r(x2－2x＋1)－ eq \r(x2＋6x＋9)(x≤－3)．
[解] (1) eq \r(3,（－5）3)＝－5.
(2) eq \r(4,（－9）2)＝eq \r(4,81)＝eq \r(4,34)＝3.
(3)∵a≤eq \f(1,2)，∴1－2a≥0，
∴ eq \r(6,4a2－4a＋1)＝ eq \r(6,（2a－1）2)＝eq \r(6,（1－2a）2)＝eq \r(3,1－2a).
(4)∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
eq \r(x2－2x＋1)－ eq \r(x2＋6x＋9)＝ eq \r(（x－1）2)－eq \r(（x＋3）2)＝|x－1|－|x＋3|＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
eq \a\vs4\al()
根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简；
(2)注意点：①正确区分(eq \r(n,a))n与eq \r(n,an)；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
[跟踪训练]
1．计算 eq \r(3,（－3）3)＋4eq \r(4,（－2）12)＝________．
解析：原式＝－3＋4×|(－2)3|＝－3＋32＝29.
答案：29
2．当eq \r(2－x)有意义时，化简eq \r(x2－4x＋4)－eq \r(x2－6x＋9)的结果是________．
解析：因为eq \r(2－x)有意义，所以2－x≥0，即x≤2，
所以原式＝ eq \r(（x－2）2)－eq \r(（x－3）2)＝(2－x)－(3－x)＝－1.
答案：－1
1．a是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.eq \r(4,a2) B.eq \r(5,a)
C.eq \r(7,－a) D.eq \r(8,a)
解析：选D 当a<0时，a的偶次方根无意义．
2．已知：n∈N，n>1，那么eq \r(2n,（－5）2n)等于( )
A．5 B．－5
C．－5或5 D．不能确定
解析：选A eq \r(2n,（－5）2n)＝eq \r(2n,52n)＝5.
3．若xy≠0，则使eq \r(4x2y2)＝－2xy成立的条件可能是( )
A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0
C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0
解析：选B ∵eq \r(4x2y2)＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.
又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B.
4．若2A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
解析：选C 原式＝|2－a|＋|3－a|，∵25．求使等式eq \r(（a－3）（a2－9）)＝(3－a)eq \r(a＋3)成立的实数a的取值范围．
解： eq \r(（a－3）（a2－9）)
＝ eq \r(（a－3）2（a＋3）)
＝|a－3|eq \r(a＋3)，
要使|a－3|eq \r(a＋3)＝(3－a)eq \r(a＋3)成立，
需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－3≤0，,a＋3≥0，))解得a∈[－3，3]．新课程标准解读
核心素养
1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值
数学抽象、数学运算
2.通过对有理数指数幂aeq \s\up6(\f(m,n))(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质
数学抽象、数学运算
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 n次方根，其中n>1，且n∈N*
性质
n是奇数
a>0
x>0
x仅有一个值，记为eq \a\vs4\al(\r(n,a))
a<0
x<0
n是偶数
a>0
x有两个值，且互为相反数，记为±eq \r(n,a)
a<0
x在实数范围内不存在
n次方根的概念
利用根式的性质化简与求值