高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案

不同函数增长的差异

[课程目标] 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等含义；2.能够判断不同函数增长的差异．

知识点　三种常见函数模型的增长差异

　　[研读]三种函数中，当a>1时，函数y＝ax函数值的增长速度是最快的．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量是定值，则y是x的一次函数．(　√　)

(2)函数y＝log3x的增长速度越来越慢．(　√　)

(3)存在一个实数m，使得x>m时，1.01x>x10.(　√　)

(4)不存在实数m，使得x>m时，kx>ln x(k>0).(　×　)

以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：

其中关于x呈二次函数变化的变量是__y2__；呈指数增长的变量是__y1__；呈对数增长的变量是__y3__．

【解析】 从表格中可以看出，y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x.所以关于x呈二次函数变化的变量是y2；呈指数增长的变量是y1；呈对数增长的变量是y3.

[规律方法]

常见的函数模型及增长特点：

(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．

(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型的增长特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．

(4)幂函数模型：能用函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型的增长情况由a和α的取值确定．

活学活用

已知函数y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，在区间(0，＋∞)上一定存在x0，当x>x0时(　A　)

A．2x>x2>log2x    B．x2>2x>log2x

C．log2x>2x>x2    D．log2x>x2>2x

【解析】 由于指数函数增长最快，对数函数增长最慢，因此当x很大时，指数函数值最大，对数函数值最小．即在区间(0，＋∞)上一定存在x0，当x>x0时，2x>x2>log2x，故选A.

函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以1，e，a，b，c，d为分界点).

解：因为f(x)＝1.1x的图象沿y轴向上增长，h(x)＝x的图象经过原点，所以可得出曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.

由图象可得：当0<x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；

当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；

当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；

当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；

当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；

当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；

当x>d时，f(x)>h(x)>g(x).

活学活用

函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．

(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；

(2)比较两个函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).

解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，

C2对应的函数为f(x)＝lg x.

(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；

当x∈(x1，x2)时，f(x)>g(x)；

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x).

[规律方法]

由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法：根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．

某化工厂开发研制了一种新产品，前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(单位：t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，a≠0，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，p≠0，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？

解：根据题意列方程组，

　解得

所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①

同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②

再将x＝4分别代入①式与②式得，

f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130，g(4)＝－80×0.54＋140＝135.

与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．

活学活用

某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？

解：A种债券的收益是100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为100×≈105.68(元)，收益约为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100×≈103.09(元)，收益约为3.09元．通过以上分析，应购买B种债券．

[规律方法]

建立函数模型应遵循的三个原则：

(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．

(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．

(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．

1．下列函数中，当x不断增大时，增长速度最快的是(　A　)

A．y＝2 021x    B．y＝x2021

C．y＝log2021x    D．y＝2 021x

【解析】 比较幂函数、指数函数与对数函数的图象可知，指数函数增长速度最快，故选A.

2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　D　)

【解析】 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.

3．某化工厂2020年12月的产量是2020年1月份产量的n倍，则该化工厂这一年的月平均增长率是(　D　)

A．B．

C．－1    D．－1

【解析】 设月平均增长率为x，第一个月的产量为a，则有

a(1＋x)11＝na，所以1＋x＝，所以x＝－1.

4．有一组实验数据如下表所示：

下列所给函数模型较适合的是(　C　)

A．y＝logax(a>1)    B．y＝ax＋b(a>1)

C．y＝ax2＋b(a>0)    D．y＝logax＋b(a>1)

【解析】 通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而选项A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.

5．某细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(由1个分裂为2个)，则这种细菌由1个分裂成2 048个需要经过__3__小时．

【解析】 设共分裂了n次，则有2n＝2 048，即2n＝211，所以n＝11，所用时间为11×20＝220(分钟)＝3(小时).