高中人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数4.1 指数导学案

无理数指数幂及其运算性质

[课程目标] 1.掌握n次方根、根式的概念；2.理解分数指数幂、有理数指数幂和无理数指数幂的概念；3.掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂、无理数指数幂的运算性质．

知识点一　根式

1．根式的定义

如果xn＝a(n>1，且n∈N*)，那么x叫做__a的n次方根__．式子____叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

(1)当n为奇数时，正数的n次方根是__一个正数__，负数的n次方根是__一个负数__．

(2)当n为偶数时，正数的n次方根有__两个__，这两个数互为相反数，__负数__没有偶次方根．

(3)0的任何次方根都是0，记作＝0.

2．当n为奇数时，＝__a__；当n为偶数时，＝__|a|＝__．

[研读]根式有没有意义，由a的符号和n的奇偶来决定．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)根式一定是无理式．(　×　)

(2)()3＝－3.(　√　)

(3)()4＝－3.(　×　)

(4)若x4＝24，则x＝2.(　×　)

【解析】 (1)根式不一定是无理式，如＝3，＝4.

(3)负数没有偶次方根．

(4)由x4＝24，得x＝±2.

知识点二　分数指数幂

1．正数的正分数指数幂的意义

a是am的n次方根，即a＝____(a>0，m，n∈N*，n>1).

2．正数的负分数指数幂和0的分数指数幂的意义

(1)a－＝____＝____(a>0，m，n∈N*，n>1).

(2)0的正分数指数幂等于__0__．

(3)0的负分数指数幂__没有意义__．

3．有理数指数幂的运算性质在形式上与整数指数幂的运算性质完全一致，即：

(1)aras＝__ar＋s__(a>0，r，s∈Q).

(2)(ar)s＝__ars__(a>0，r，s∈Q).

(3)(ab)r＝__arbr__(a>0，b>0，r∈Q).

[研读]根式化为指数式，利用指数幂的运算法则进行运算，可使根式运算变得简单．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)(－5)＝(－5)．(　×　)

(2)(－5)＝(－5)．(　√　)

(3)a3·a＝a.(　×　)

(4)(b3)2＝b5.(　×　)

【解析】 (1)负数的偶次方根没有意义．

(3)a3·a＝a．

(4)(b3)2＝b6.

知识点三　无理数指数幂

一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的__实数__．整数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂．

实数指数幂的运算性质：

(1)aras＝__ar＋s__(a>0，r，s∈R).

(2)(ar)s＝__ars__(a>0，r，s∈R).

(3)(ab)r＝__arbr__(a>0，b>0，r∈R).

[研读]无理数指数幂是有理数指数幂的拓展，运算性质完全相同．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)[(－)2]＝－.(　×　)

(2)(3)－＝.(　√　)

(3)a－＋a＝0.(　×　)

(4)若2x＝10，则2－x＝.(　√　)

【解析】 (1)[(－)2]＝.

(2)(3 )－＝3 ×(－)＝3－2＝.

(3)a－＋a＝＋≠0.

(4)2－x＝(2x)－1＝10－1＝.

计算下列各式的值．

(1)＝__7__；(2)＝__－7__；

(3)＝__－1__；(4)＝__1－__．

【解析】 (1)＝|－7|＝7.

(2)＝－7.

(3)＝＝－1.

(4)＝1－.

活学活用

计算下列各式的值．

(1)＝____；

(2)＋＋＝__－1__．

【解析】 (1)＝|x－3|，

当x≥3时，原式＝x－3；当x<3时，原式＝3－x.

∴＝

(2)∵3－2＝2－2＋1＝()2－2＋1＝(－1)2，

∴＋＋＝＋＋＝－1＋1－＋－1＝－1.

【迁移探究】

化简下列各式：

(1)；(2)；

(3)＋.

解：(1) ＝＝＋1.

(2) ＝＝4－.

(3)＋＝＋＝2.

将下列根式化为指数式．

(1)若a>0，则＝__a－__；

(2)若b>0，则＝__b__；

(3)若x>0，则＝__x－__．

【解析】 (1)原式＝＝＝＝a－．

(2)原式＝＝b－××＝b．

(3)原式＝＝＝＝＝＝x－．

活学活用

用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0).

(1)a2·＝__a__；

(2)＝__a__；

(3)·＝__a__；

(4)()2·＝__ab__．

【解析】 (1)原式＝a2a＝a2＋＝a．

(2)原式＝＝＝a．

(3)原式＝a·a＝a＋＝a．

(4)原式＝·(ab3)＝a·ab＝a＋b＝ab．

计算下列各式(式中字母均为正数).

(1)ab·(－3ab)÷；

(2)(0.064)－－＋＋|－0.01|；

(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；

(4)＋．

解：(1)原式＝·a＋－b＋－＝－9a.

(2)原式＝(0.43)－－1＋＋(0.12)＝0.4－1－1＋＋0.1＝3.1.

(3)原式＝－a－2－1－(－4)b－3＋1－(－2)c－1＝－ac－1＝－.

(4)原式＝＋－＝a－1－b－1＋b－1－a＝－a＝.

活学活用

(1)若a>0，b>0，则÷·＝__36ab__；

(2)计算：＋0.1－2＋－3＋＝__100__．

【解析】 (1)原式＝[－3×2×(－6)]a－＋·b－＋＝36ab.

(2)原式＝＋102＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.

[规律方法]

实数指数幂运算的基本原则和常规方法：

(1)基本原则：式子里既有分数指数幂又有根式时，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，再用实数指数幂的运算性质化简．

(2)常规方法：①化负数指数幂为正数指数幂；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数进行运算．

(1)已知a－a－1＝－2，则a2＋a－2＝__6__；a3－a－3－a＋a－1＝__－12__．

(2)已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求的值．

(1)【解析】 将a－a－1＝－2两边平方，得a2－2＋a－2＝4，所以a2＋a－2＝6.

a3－a－3－a＋a－1＝a3－a＋a－1－a－3＝a2(a－a－1)＋a－2(a－a－1)＝(a2＋a－2)(a－a－1)＝6×(－2)＝－12.

(2)解：因为＝＝，

又因为x＋y＝12，xy＝9，

所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.

又x<y，所以x－y＝－6，

所以＝＝－.

活学活用

1．已知2x＋2－x＝a，求8x＋8－x的值．

解：由2x＋2－x＝a⇒＝a2⇒22x＋2－2x＝a2－2，所以

8x＋8－x＝＋＝(2x＋2－x)(22x－1＋2－2x)＝a(a2－3).

2．已知a2x＝－1，求的值．

解：＝＝a2x－1＋a－2x，

所以＝－1－1＋＋1＝2－1.

(1)设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两根，则2α·2β＝____，(2α)β＝__2__；

(2)若10x＝2，10y＝3，则10＝____．

【解析】 (1)∵α，β是方程的两根，∴α＋β＝－＝－2，αβ＝，故2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2．

(2)由10x＝2，10y＝3，得10＝(10x)＝2，

∴10＝(10x)·(10y)－2＝2·3－2＝.

活学活用

(1)设10m＝2，10n＝3，则10－2m－10－n＝__－__．

【解析】 因为10m＝2，10n＝3，

所以10－2m＝＝，10－n＝＝，

所以10－2m－10－n＝－＝－.

(2)已知x＝，求(x－)3的值．

解：因为x＝，所以x2＝，

所以1＋x2＝＝，

所以＝，

所以(x－)3＝＝

＝－.

[规律方法]

条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值．另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件、整体代入等，可以简化解题过程．常用的整体代入有(a±a－1)2＝a2＋a－2±2，(a＋a－1)·(a－a－1)＝a2－a－2等．

【迁移探究】

若x>0，y>0，且x－－2y＝0，求的值．

解：因为x－－2y＝0，x>0，y>0，

所以()2－－2()2＝0，

所以(－2)(＋)＝0.

因为x>0，y>0，所以＋>0，

所以－2＝0，得x＝4y，

所以＝＝＝.

1．已知x7＝8，则x等于(　B　)

A．2　　　　　　B．

C．－D．±

【解析】 由根式的定义知x＝.

2．计算[(－)－2]－的结果是(　A　)

A．B．－

C．D．－

【解析】 [(－)－2]－＝()(－2)×＝.

3．化简的结果为(　A　)

A．－B．

C．－D．

【解析】 要使式子有意义，只需－x3>0，即x<0，

所以＝＝－.

4．若a>0，b>0，计算＝____．

【解析】 原式＝＝＝ab＝.

5．若x＋x－1＝4，则x＋x－＝____．

【解析】 ∵x＋x－1＝4，∴x＋x－＝

＝＝＝.