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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数学案设计
展开我们以前学过函数y=x,y=x2,y=eq \f(1,x).
[问题] (1)这三个函数的解析式有什么共同的特点吗?
(2)你能根据初中学过的整数指数幂的运算,把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗?
知识点一 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中eq \a\vs4\al(x)是自变量,eq \a\vs4\al(α)是常数.
eq \a\vs4\al()
对幂函数的再理解
(1)xα的系数为1;
(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;
(3)项数只有一项.
1.在函数y=eq \f(1,x4),y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为________.
解析:函数y=eq \f(1,x4)=x-4为幂函数;
函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;
函数y=x2+2x不是y=xα(α是常数)的形式,所以它不是幂函数;
函数y=1与y=x0=1(x≠0)不相等,所以y=1不是幂函数.
答案:1
2.已知f(x)=(m+1)xm+2是幂函数,则m=________.
解析:∵函数f(x)=(m+1)xm+2是幂函数,
∴m+1=1,即m=0.
答案:0
知识点二 五个常见幂函数的图象与性质
1.五个常见幂函数的图象
2.五个常见幂函数的性质
1.如果幂函数f(x)=xα的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3,\f(1,9))),则α=( )
A.-2 B.2
C.-eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案:A
2.当x∈(0,1)时,x2________x3.(填“>”“=”或“<”)
答案:>
[例1] (1)在函数y=x-2,y=2x2,y=(x+1)2,y=3x中,幂函数的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)若f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,则m=________.
[解析] (1)根据幂函数定义可知,只有y=x-2是幂函数,所以选B.
(2)因为f(x)是幂函数,所以m2-4m-4=1,即m2-4m-5=0,解得m=5或m=-1.
[答案] (1)B (2)5或-1
eq \a\vs4\al()
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.
[跟踪训练]
1.(多选)下列函数中是幂函数的是( )
A.y=eq \f(1,x) B.y=4x2
C.y=2x+1 D.y=x-eq \f(1,2)
解析:选AD 幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数,A是α=-1的情形,D是α=-eq \f(1,2)的情形,所以A和D都是幂函数;B中x2的系数是4,不是幂函数;易知C不是幂函数.
2.已知函数f(x)=(a2-a-1)xeq \s\up6(\f(1,a-2))为幂函数,则实数a的值为( )
A.-1或2 B.-2或1
C.-1 D.1
解析:选C 因为f(x)=(a2-a-1)xeq \s\up6(\f(1,a-2))为幂函数,所以a2-a-1=1,即a=2或-1.又a-2≠0,所以a=-1.
[例2] (链接教科书第91页练习1题)点(eq \r(2),2)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2,-\f(1,2)))分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,问当x为何值时,有:
(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)
∵(eq \r(2))α=2,(-2)β=-eq \f(1,2),∴α=2,β=-1,
∴f(x)=x2,g(x)=x-1.分别作出它们的图象,如图所示.
由图象知,
(1)当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x);
(2)当x=1时,f(x)=g(x);
(3)当x∈(0,1)时,f(x)
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高);
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(类似于y=x-1或y=x\s\up6(\f(1,2))或y=x3))来判断.
[跟踪训练]
1.若幂函数y=f(x)的图象经过点(2,eq \r(2)),则f(3)=( )
A.eq \f(1,3) B.eq \r(3)
C.3 D.9
解析:选B 设幂函数y=f(x)=xα,其图象经过点(2,eq \r(2)),则2α=eq \r(2),解得α=eq \f(1,2).∴f(x)=xeq \s\up6(\f(1,2))=eq \r(x),∴f(3)=eq \r(3).故选B.
2.下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是( )
A.①y=x2,②y=xeq \s\up6(\f(1,3)),③y=xeq \s\up6(\f(1,2)),④y=x-1
B.①y=x3,②y=x2,③y=xeq \s\up6(\f(1,2)),④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=xeq \s\up6(\f(1,2)),④y=x-1
D.①y=xeq \s\up6(\f(1,3)),②y=xeq \s\up6(\f(1,2)),③y=x2,④y=x-1
解析:选B 注意到函数y=x2≥0,且该函数是偶函数,其图象关于y轴对称,该函数图象应与②对应;y=xeq \s\up6(\f(1,2))=eq \r(x)的定义域、值域都是[0,+∞),该函数图象应与③对应;y=x-1=eq \f(1,x),其图象应与④对应.
[例3] (链接教科书第91页例)探讨幂函数f(x)=xeq \s\up6(-\f(1,2))的单调性.
[解] f(x)=xeq \s\up6(-\f(1,2))的定义域为(0,+∞).∀x1,x2∈(0,+∞),且x1
[母题探究]
(变条件)本例若增加条件“(a+1) eq \s\up6(-\f(1,2))<(3-2a) eq \s\up6(-\f(1,2))”,求实数a的取值范围.
解:因为f(x)=xeq \s\up6(-\f(1,2))在区间(0,+∞)上是减函数,所以(a+1) eq \s\up6(-\f(1,2))<(3-2a) eq \s\up6(-\f(1,2))等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a+1>0,,3-2a>0,,a+1>3-2a,))
解得eq \f(2,3)所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3),\f(3,2))).
eq \a\vs4\al()
幂函数的常用性质
(1)幂函数y=xαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α=\f(q,p),p,q∈Z,p>1,p与q互质))奇偶性的判断方法:
①若p,q同为奇数,则y=xα为奇函数;
②若p为奇数,q为偶数,则y=xα为偶函数;
③若p为偶数,则y=xα为非奇非偶函数.
(2)幂函数单调性的判断:幂函数y=xα在区间(0,+∞)上,当α>0时,y=xα是增函数;当α<0时,y=xα是减函数.
[跟踪训练]
1.(多选)已知α∈{-1,1,2,3},则使函数y=xα的值域为R,且为奇函数的α的值为( )
A.-1 B.1
C.2 D.3
解析:选BD 当α=-1时,y=x-1=eq \f(1,x),为奇函数,但值域为{y|y≠0},不满足条件;
当α=1时,y=x为奇函数,值域为R,满足条件;
当α=2时,y=x2为偶函数,值域为{y|y≥0},不满足条件;
当α=3时,y=x3为奇函数,值域为R,满足条件.故选B、D.
2.若幂函数f(x)过点(2,8),则满足不等式f(a-3)>f(1-a)的实数a的取值范围是________.
解析:设幂函数为f(x)=xα,因为其图象过点(2,8),所以2α=8,解得α=3,所以f(x)=x3.因为f(x)=x3在R上为增函数,所以由f(a-3)>f(1-a),得a-3>1-a,解得a>2.
所以满足不等式f(a-3)>f(1-a)的实数a的取值范围是(2,+∞).
答案:(2,+∞)
[例4] (链接教科书第91页练习2题)比较下列各组数的大小:
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(0.5)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.5);
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3)))eq \s\up12(-1)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,5)))eq \s\up12(-1);
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up6(\f(3,4))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up6(\f(3,2)).
[解] (1)∵幂函数y=x0.5在(0,+∞)上是单调递增的,
又eq \f(2,5)>eq \f(1,3),∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(0.5)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.5).
(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,
又-eq \f(2,3)<-eq \f(3,5),
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3)))eq \s\up12(-1)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,5)))eq \s\up12(-1).
(3)∵函数y1=xeq \s\up6(\f(3,4))为(0,+∞)上的增函数,又eq \f(3,2)>1,
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up6(\f(3,4))>1eq \s\up6(\f(3,4))=1.
又∵函数y2=xeq \s\up6(\f(3,2))在(0,+∞)上是增函数,且eq \f(3,4)<1,
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up6(\f(3,2))<1eq \s\up6(\f(3,2))=1,
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up6(\f(3,4))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up6(\f(3,2)).
eq \a\vs4\al()
比较幂值大小的2种方法
[跟踪训练]
比较下列各组值的大小:
(1)(-0.31)eq \s\up6(\f(6,5)),0.35eq \s\up6(\f(6,5));(2)1.2eq \s\up6(\f(1,2)),1.4eq \s\up6(\f(1,2)),1.42.
解:(1)∵y=xeq \s\up6(\f(6,5))为R上的偶函数,∴(-0.31)eq \s\up6(\f(6,5))=0.31eq \s\up6(\f(6,5)).
又函数y=xeq \s\up6(\f(6,5))在[0,+∞)上单调递增,且0.31<0.35,
∴0.31eq \s\up6(\f(6,5))<0.35eq \s\up6(\f(6,5)),即(-0.31)eq \s\up6(\f(6,5))<0.35eq \s\up6(\f(6,5)).
(2)∵y=xeq \s\up6(\f(1,2))在[0,+∞)上是增函数,且1.2<1.4,
∴1.2eq \s\up6(\f(1,2))<1.4eq \s\up6(\f(1,2)).
易知1.4eq \s\up6(\f(1,2))<1.42,∴1.2eq \s\up6(\f(1,2))<1.4eq \s\up6(\f(1,2))<1.42.
函数y=x+eq \f(1,x)的图象与性质的探究
学习了幂函数的图象,类比实数的加、减、乘、除运算,我们对幂函数也进行了相关运算,得到了新的函数f(x)=x+eq \f(1,x),利用计算机软件,我们绘制出它的图象,如图.
[问题探究]
参考幂函数的性质,探究函数f(x)=x+eq \f(1,x)的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质.
提示:(1)定义域:∵x≠0,
∴函数f(x)=x+eq \f(1,x)的定义域为{x|x≠0};
(2)函数f(x)=x+eq \f(1,x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞);
(3)奇偶性:∵f(-x)=-x-eq \f(1,x)=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,x)))=-f(x),
∴函数f(x)=x+eq \f(1,x)为奇函数;
(4)单调性:由函数f(x)=x+eq \f(1,x)的图象可知,函数f(x)=x+eq \f(1,x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,0),(0,1)上单调递减.
[迁移应用]
参考幂函数的性质,探究函数f(x)=ax+eq \f(b,x)(a>0,b>0)的图象与性质.
解:函数f(x)=ax+eq \f(b,x)(a>0,b>0)具有如下基本性质:
(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\r(\f(b,a)) ))上单调递减,在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1( \r(\f(b,a)),+∞))上单调递增,在(0,+∞)上有最小值2eq \r(ab);f(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\r(\f(b,a)),0))上单调递减,在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,-\r(\f(b,a))))上单调递增,在(-∞,0)上有最大值-2eq \r(ab);(3)在第一象限内,函数图象向上与y轴无限接近、向右与直线y=ax无限接近;在第三象限内,函数图象向下与y轴无限接近,向左与直线y=ax无限接近.该函数的图象如图所示.
1.下列函数中是幂函数的是( )
A.y=x4+x2 B.y=10x
C.y=eq \f(1,x3) D.y=x+1
解析:选C 根据幂函数的定义知,y=eq \f(1,x3)是幂函数,y=x4+x2,y=10x,y=x+1都不是幂函数.
2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )
A.y=x-2 B.y=x-1
C.y=x2 D.y=xeq \s\up6(\f(1,3))
解析:选A 所给选项都是幂函数,其中y=x-2和y=x2是偶函数,y=x-1和y=xeq \s\up6(\f(1,3))不是偶函数,故排除选项B、D,又y=x2在区间(0,+∞)上单调递增,不合题意,y=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,符合题意,故选A.
3.已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是________.
解析:因为0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,
所以y=xα在(0,+∞)上为减函数,故α<0.
答案:(-∞,0)
4.比较下列各组数的大小:
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up6(\f(2,5)),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up6(\f(2,5));
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(2,3)),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up6(\f(2,3)).
解:(1)由幂函数y=xeq \s\up6(\f(2,5))在(0,+∞)上单调递增,得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up6(\f(2,5))
新课程标准解读
核心素养
通过具体实例,结合y=x,y=eq \f(1,x),y=x2,y=eq \r(x),y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数,会求幂函数的解析式
数学抽象、逻辑推理、数学运算
幂函数
y=x
y=x2
y=x3
y=xeq \s\up6(\f(1,2))
y=x-1
定义域
R
R
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪
(0,+∞)
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y∈R
且y≠0}
奇偶性
奇
偶
eq \a\vs4\al(奇)
非奇非偶
奇
单调性
eq \a\vs4\al(增)
x∈(0,+∞)增;x∈(-∞,0)减
eq \a\vs4\al(增)
增
x∈(0,+∞)减;x∈(-∞,0)减
公共点
都经过点(1,1)
幂函数的概念
幂函数图象及其应用
幂函数的性质
比较幂值的大小
人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数学案: 这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数学案,共6页。学案主要包含了学习目标,问题探究1,问题探究2等内容,欢迎下载使用。
必修 第一册3.4 函数的应用(一)学案: 这是一份必修 第一册3.4 函数的应用(一)学案,共9页。
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数导学案及答案: 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数导学案及答案,共9页。