2022年中考数学专题复习+圆解答题专练

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2022中考数学专题复习 圆解答题专练
1．如图，在 ⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E ， ∠ABC=58° ．
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（Ⅰ）如图①，若 ∠AEC=85° ，求 ∠BAD 和 ∠CDB 的大小；
（Ⅱ）如图②，若 CD⊥AB ，过点 D 作 ⊙O 的切线 DF ，与 AB 的延长线相交于点 F ．求 ∠F 的大小．
2．如图，四边形ACBE内接于⊙O，AB平分∠CAE，CD⊥AB交AB、AE分别于点H、D．

（1）如图①，求证：BD=BE；
（2）如图②，若F是弧AC的中点，连接BF，交CD于点M，∠CMF=2∠CBF，连接FO、OC，求∠FOC的度数；
（3）在（2）的条件下，连接OD，若BC=4 3 ，OD=7，求BF的长．
3．已知，△ADB内接于⊙O，DG⊥AB于点G，交⊙O于点C，点E是⊙O上一点，连接AE分别交CD、BD于点H、F．

（1）如图1，当AE经过圆心O时，求证：∠AHG=∠ADB；
（2）如图2，当AE不经过点O时，连接BC、BH，若∠GBC=∠HBG时，求证：HF=EF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE，若AB=8，DH=6，求sin∠DAE的值．
4．如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若AC=4，tan∠ACD=12，求⊙O的半径．

5．如图，△ABC中，∠C=90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若cosA=12，AB=83，AG=23，求BE的长；
（3）若cosA=12，AB=83，直接写出线段BE的取值范围．

6．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA=∠ABC；
（2）过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE．若sin∠P=35，CF=5，求BE的长．

7．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC．
（1）求证：∠ACF=∠ADB；
（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，DEAO的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．

8．已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．

（1）求∠D的度数
（2）求证：AC2=AD•CE
（3）求BCCD的值
9．已知，△ABC内接于⊙O，点D为BC中点，直径EF经过点D，连接AE．

（1）如图1，求证：∠BAE=∠CAE；
（2）如图2，连接OB、AF，∠BOE=2∠ABC，求证：AF=2OD；
（3）如图3，在（2）的条件下，AE和BC交于点G，若AE=8DG，△ACG的面积为102，求OB的长．
10．已知，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC交⊙O于点D，∠ACP=3∠PAC
（1）如图1：求证：OP=CP；

图1
（2）如图2：E为⊙O上一点，连接CE、AD交于点F，若EC=AC，求证：AD⊥CE；

图2
（3）如图3：在（2）的条件下，AB交CE于点G，GM⊥CP于M，若EG=4，MG=23，求线段AB的长．

图3
11．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，并且C、D位于直径AB的两侧．CA=CD．

（1）如图1，求证：∠ABD=2∠BDC；
（2）如图2，AB、CD交于点E，过点E作EF⊥DB于点F，延长FE交AC于点M，求证：CE=CM；
（3）在（2）的条件下，若tan∠CDB=12，EB=5，求线段CE的长．
12．如图，ΔDBE内接于⊙O，BD为直径，DE＝EB，点C在⊙O（不与D，B，E重合）上，∠A＝45°，点A在直线CD上，连接AB．

（1）如图1，若点C在DE上，求证：ΔABD～ΔCBE；
（2）在（1）的条件下，DC＝6，DB＝10，求线段CE的长；
（3）若直线BC与直线DE相交于点F，当 DCCB=13 时，求 BFDF 的值。
13．如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD，垂足为E，P为AC上的动点（不与端点重合），连接PD．

（1）求证：∠APD＝∠BPD；
（2）利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：∠AIP+∠DAI＝180°；
（3）在（2）的条件下，连接IC、IE，若∠APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，ICIE是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AE平分∠CAB；
（3）若AQ=10，EQ=5，HGAG=12，求四边形CHQE的面积．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，连接DE、DP．点F为线段CP上一点，连接DF，∠FDP＝∠DEP．

（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当DP=EP时，求证AB＝AP；
（3）当AB＝15，BC＝20时，是否存在点P，使得△BDE是以BD为腰的等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．
16．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，⊙C与对角线BD相切．

（1）如图1，求⊙C的半径；
（2）如图2，点P是⊙C上一个动点，连接AP，AC，AP交⊙C于点Q，若sin∠PAC＝6325，求∠CPA的度数和弧PQ的长；
（3）如图，对角线AC与⊙C交于点E，点P是⊙C上一个动点，设点P到直线AC的距离为d，当0＜d≤635时，请直接写出∠PCE度数的取值范围．
17．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为3，AF=4.

（1）过点D作直线MN//BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求AB⋅AC的值；
（3）设∠BAC=2α，求AB+ACAD的值（用含α的代数式表示）.
18．如图1，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，PA＝PB，弦AB与PC交于点M

（1）求证：PB是⊙O的切线
（2）连接BC，若∠APB＝4∠BPC，AP＝6，求BC的长
（3）如图2，若AB＝4BM，求 MCMB 的值
（4）如图3，若AP＝AC，PO与AB交于点D，PC与⊙O交于点N，连接DN，则 DPDN ＝　 　
19．如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，点D在 AB 的延长线上， CD 为 ⊙O 的切线，过D作 ED⊥AD ，与 AC 的延长线相交于E， BD=1 ， DE=5 .

（1）求证： CD=DE ；
（2）求 ⊙O 的半径；
（3）若 ∠ACB 的平分线与 ⊙O 交于点F，P为 △ABC 的内心，求 PF 的长.
20．如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点，连接QP并延长交CB的延长线于点D.

（1）判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由：
（2）若AP=4，tanA= 12 ，
①求⊙O的半径的长；
②求PD的长.
21．（提出问题）
如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变.

（1）（特殊位置探究）
当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长；
（2）（一般规律探究）
如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x， AFBF= y.
①求证：∠ACQ＝∠CPA；
②求y与x之间的函数关系式；
（3）（解决问题）
当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比.（直接写出答案）
22．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，DE⊥AB，垂足为E.

（1）如图1，延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交点P求证：PC＝PB.
（2）如图2，过点B作BG⊥AD，交DE于点H，垂足为G，点O和点A都在DE的左侧，且DH＝1.
①求BC的长；
②若AB＝ 3 ，∠OHD＝80°，求∠CAD的大小.

参考答案
1．【答案】解：（Ⅰ）∵∠AEC=85° ， ∠ABC=58°
∴∠C= ∠AEC−∠ABC=27°
∴∠BAD=∠C=27°
∵直径 AB 与弦 CD 相交于点 E ，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABC=∠ADC=58°
∴∠CDB=∠ADB−∠ADC=32°
（Ⅱ）∵CD⊥AB
∴∠AEC=90°
又∵∠ABC=∠ADC=58°
∴∠A=90°−∠ADC=32°
∴∠DOB=2∠A=64°
∵DF 是 ⊙O 的切线
∴∠ODF=90°
∴∠F=90°−64°=26°
2．【答案】（1）解：如图1，连接OB、OC、OE，

∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB=∠BAE，
∴∠COB=∠BOE，
∴BC=BE，
∵CD⊥AB，
∴∠CHA=∠DHA=90°，
∵∠CAB=∠BAE，AH=AH，
∴△ACH≌△ADH，
∴CH=DH，
∴AB为线段CD的垂直平分线，
∴BC=BD，
∴BD=BE；
（2）解：∵F是弧AC的中点，
∴AF=CF ，
∴∠CBF=∠ABF，
∵∠CMF=2∠CBF，
∴∠CMF=2∠ABF，
∵CD⊥AB，∠CMF=∠BMH，
∴∠BMH+∠ABF=90°，
∴∠ABF=30°，
∴∠CBF=30°，
∵∠FOC=2∠CBF，
∴∠FOC=60°

（3）解：如图3，连接OM，OB，作ON⊥BF于N，DK⊥OM于K，

由（2）可知：∠CBF=∠ABF=∠BCH=30°，
∴CM=BM，
在Rt△CBH中，∠BCH=30°，BC=4 3 ，
∴BH=2 3 ，CH=6，
在Rt△BHM中，∠MBH=30°，BH=2 3 ，
∴BM=4 HM=2，
∴CM=BM=4，
∵OC=OB，OM=OM，
∴△OMC≌△OMB，
∴∠CMO=∠BMO=120°，∠OMF=∠OMD=60°，
∵CH=DH=6，
∴DM=8，
在Rt△DMK中，∠KMD=60°，DM=8，
∴MK=4，DK=4 3 ，
在Rt△OKD中，
OD2=OK2+DK2，
∵OD=7，DK=4 3 ，
∴OK=1，
∴OM=5，
在Rt△OMN中，∠OMN=60°，OM=5，
MN= 12 OM= 52 ，
∴BN=BM+MN= 132 ，
∵ON⊥BF，
∴BF=2BN=13．
3．【答案】（1）证明：如图1中，连接BE，∵AE是⊙O的直径∴∠ABE=90°，
∵DG⊥AB，
∴∠ABE=∠AGD=90°，∴DG∥BE，
∴∠AEB=∠AHG，
∵∠ADB=∠AEB
∴∠ADB=∠AHG．
（2）解：连接AC、DE，EB、AC、BC．∠GBC=∠HBG，DG⊥AB∴∠GHB=∠BCH，BH=BC，∴HG=CG，∴AH=AC，∠AHC=∠HCA，∠BAC=∠HAG∵∠AED=∠ACH，∠DHE=∠AHC，∴∠AED=∠DHE，∴DH=DE，
∵∠EDB=∠EAB，∠CDB=∠BAC，
∴∠EDB=∠CDB，∴HF=EF．
（3）解：过点O作ON⊥DE，OM⊥AB垂足分别为N、M，连接OD、OE、OA、OB．∴BM= 12 AB=4，∵DH=DE=6，HF=EF，∴DF⊥AE，∴∠DAE+∠BDA=90°，∵∠E O D=2∠DAE∠AO B=2∠ADB，
∴∠BOA+∠EOD=180°，
∵∠DOE=2∠NOE∠AOB=2∠BOM，∴∠NOE+∠BOM=90°∠NOE+∠NEO=90°，∵∠NEO=∠BOM，OE=OB，
∴△NOE≌△MBO
∴NE=OM=3，∴OB= 33+42 =5，
∵∠ADB=∠BOM，
∴∠DAF=∠OBM，
在RT△OMB中sin∠OBM= OMOB = 35
∴sin∠DAE= 35
4．【答案】（1）证明：连接CO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OB=CO，
∴∠B=∠OCB，
∵∠FCA=∠B，
∴∠BCO=∠ACF，
∴∠OCA+∠ACF=90°，
即∠OCF=90°，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥DC，
∴=，
∵AC=4，tan∠ACD=12，
∴tan∠B=tan∠ACD=ACBC=12，
∴ACBC=12，
∴BC=8，
∴在Rt△ABC中，
AB=BC2+AC2=82+42=45，
则⊙O的半径为：25．
​
5．【答案】（1）证明：连接OD，如图，∵△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵直线EF垂直平分BD，∴ED=EB，∴∠B=∠EDB，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接GD，∵AG为直径，∴∠ADG=90°，∵cosA=12，∴∠A=60°，∴∠AGD=30°，∴AD=12AG=3，∵AB=83，∴BD=AB﹣AD=83﹣3=73，∵直线EF垂直平分BD，∴BF=12BD=732，在Rt△BEF中，∠B=30°，∴EF=33BF=72，∴BE=2EF=7；（3）解：∵cosA=12，∴∠A=60°，∴∠B=30°，∴AC=12AB=43，由（2）得AD=12AG，BF=12（AB﹣AD）=43﹣14AG，在Rt△BEF中，∠B=30°，∴EF=33BF，∴BE=2EF=233BF=233（43﹣14AG）=8﹣36AG，∵0＜AG＜AC，即0＜AG＜43，∴6＜BE＜8．
6．【答案】（1）证明：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠OCA=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC；
（2）解：∵AE∥PC，
∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴CF=AF，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P=35，
∴sin∠FAD=35，
在Rt△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，
∴FD=3，AD=4，∴CD=8，
在Rt△OCD中，设OC=r，
∴r2=（r﹣4）2+82，
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，
∵sin∠EAD=35，∴BEAB=35，
∵AB=20，
∴BE=12．

7．【答案】（1）证明：连接AB，∵OP⊥BC，∴BO=CO，∴AB=AC，又∵AC=AD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，又∵∠ABD=∠ACF，∴∠ACF=∠ADB．（2）解：过点A作AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A作AN⊥BF于N，连接AF，则AN=m，∴∠ANB=∠AMC=90°，在△ABN和△ACM中，∠ANB=∠AMC∠ABN=∠ACMAB=AC∴Rt△ABN≌Rt△ACM（AAS）∴BN=CM，AN=AM，又∵∠ANF=∠AMF=90°，在Rt△AFN和Rt△AFM中AN=AMAF=AF，∴Rt△AFN≌Rt△AFM（HL），∴NF=MF，∴BF+CF=BN+NF+CM﹣MF，=BN+CM=2BN=n，∴BN=n2，∴在Rt△ABN中，AB2=BN2+AN2=m2+n22=m2+n24，在Rt△ACD中，CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+n22，∴CD=128m2+2n2．（3）解：DEAO的值不发生变化，过点D作DH⊥AO于H，过点D作DQ⊥BC于Q，∵∠DAH+∠OAC=90°，∠DAH+∠ADH=90°，∴∠OAC=∠ADH，在△DHA和△AOC中∠DHA=∠AOC∠OAC=∠ADHAD=AC，∴Rt△DHA≌Rt△AOC（AAS），∴DH=AO，AH=OC，又∵BO=OC，∴HO=AH+AO=OB+DH，而DH=OQ，HO=DQ，∴DQ=OB+OQ=BQ，∴∠DBQ=45°，又∵DH∥BC，∴∠HDE=45°，∴△DHE为等腰直角三角形，∴DEDH=2，∴DEAO=2．​
8．【答案】（1）解：如图，连接OB（1分）
∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵AD∥OC，
∴∠D=∠OCB=45°（2分）

（2）证明：∵∠BAC=45°，∠D=45°，∴∠BAC=∠D∵AD∥OC，
∴∠ACE=∠DAC
∴△ACE∽△DAC∴ACDA=CEAC
∴AC2=AD•CE
（3）解：方法一：如图，延长BO交DA的延长线于F，连接OA∵AD∥OC，∴∠F=∠BOC=90°∵∠ABC=15°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=30°∵OA=OB，∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°，∠OAF=30°、∴OF=12OA∵AD∥OC，∴△BOC∽△BFD∴BCBD=BOBF
∴BCBD=BOBF=OAOF=2，即BCCD的值为2
方法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得BM=32r，OM=r2，∠MOE=30°，
ME=OM•tan30°=36r，BE=233r，AE=33r，所以BCCD=BEEA=2

9．【答案】（1）证明：

∵EF是直径，D为BC中点
∴BE=EC ，
∴∠BAE=∠CAE；
（2）证明：如图2，过O作OK⊥AF于点K，连接AO、OC，则AF＝2FK，

∵∠BOE=2∠ABC，∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOC=∠BOE，
∵EF是直径，D为BC中点，
∴∠BOE=∠COE，EF⊥BC，
∴∠BOE=12∠AOE=∠F，
∵OK⊥AF，EF⊥BC，
∴∠BDO=∠OKF=90°，
在△OBD和△FOK中
∠BDO=∠OKF∠DOB=∠FBO=FO，
∴△OBD≌△FOK，
∴FK＝DO．
∴AF＝2OD；
（3）解：如图3，

过A作AH⊥BC于点H，则△EDG∽△AHG ，
设DG=a，则AE=8DG=8a，由（2）可得，AE=2BD，
∴BD＝4a，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD=4a，
∴CG=CD-DG=3a，
∵由（1）得AG=BG=BD+DG=5a，
∴EG=AE-AG=3a，
∴在Rt△DGE中，DE=EG2−DG2=22a ，
∵△EDG∽△AHG，
∴DEAH=EGAG即22aAH=3a5a，
∴AH=1032 ，
∵△ACG的面积为102，
∴12×3a×1032a=102，
解得a=2，
∵EF为⊙O的直径，
∴EAF=90°，
∵EF⊥BC，
∴∠EDG=∠EAF=90°，
∵∠E=∠E，
∴△AEF∽△DEG，
∴EFEG=AEDE即EF3a=8a22a
∴EF=62a=12，
∴OB＝6．
10．【答案】（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，又∠ACP=3∠PAC，
∴∠PCO=2∠OAC，
又∵∠POC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，
∴∠POC=∠PCO，
∴OP=CP；
（2）证明：连接OA、OE、BC，

∵OA=OE，AC=CE，OC=OC，
∴△AOC≌△EOC（SSS），
∴∠OCA=∠OCE，
∵∠OAC=∠OCA，又∠ACP=3∠PAC，
∴∠PCE=∠OAC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠OAC+∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠PCE+∠ADE=90°，
∴∠CFD=90°，
故AD⊥CE；
（3）解：连接OC、BC，过G作GH⊥OC于H，延长GH交AC于N，

则∠CHN=∠CHG=90°，
设∠OAC=α，由（2）知，∠OAC=∠OCA=∠OCE=∠PCE=α，
∵∠OCA=∠OCE，CH=CH，∠CHN=∠CHG，
∴△CHN≌△CHG（ASA），
∴HN=HG，CN=CG，
∵∠OCE=∠PCE，GH⊥OC，GM⊥CP，
∴HG=GM=23，
∴GN=2HG=43，过G作GK⊥AC于K，在AC上截取KQ=KC，
则GK垂直平分CQ，∴CG=GQ，
∴∠CQG=∠ACE=2α，
∵∠CQG=∠OAC+∠AGQ，
∴∠AGQ=α=∠OAC，
∴AQ=GQ=CG，又AC=CE，
∴CQ=GE=4，
∴KQ=KC=2，
设CG=x，则AQ=GQ=CN=x，∴NK=x－2，
∵在Rt△GQK和Rt△GNK中，KG2=GQ2－KQ2=GN2－NK2，
∴x2－22=（43）2－（x－2）2，解得：x1=6，x2=－4(舍去)，
∴AK=8，AC=10，KG2=32，
∴在Rt△AKG中，AG=AK2+KG2=64+32=46，
∵GK⊥AC，BC⊥AC，
∴GK∥BC，
∴AGAB=AKAC，即46AB=810，
∴AB=56．
11．【答案】（1）证明：如图1中，连接OC、OD．

在ΔOCA和ΔOCD中，
OC=OCCA=CDOA=OD，
∴ΔOCA≅ΔOCD，
∴∠ACO=∠DCO，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A=∠CDB，
∴∠CDB=∠OCD，
∴OC//DB，
∠ABD=∠BOC，
∵∠BOC=2∠CDB，
∴∠ABD=2∠CDB．
（2）证明：如图2中，连接AD．

∵MF⊥BD，
∴∠EFB=90°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠EFB=∠ADB，
∴EM//AD，
∴∠CME=∠CAD，∠CEM=∠CDA，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠CME=∠CEM，
∴CM=CE．
（3）解：如图3中，连接AD、BC，延长CO交AD于H．则CH⊥AD，AH=DH．

易知∠CDB=∠CAO=∠ACH，
∴tan∠CDB=tan∠CAO=tan∠ACH=12，设AB=25a，
则BC=2a，AC=4a，AH=455a，CH=855a，
∴OH=CH−OC=355a，
∴tan∠OAH=OHAH=355a455a=34，
∵EF//AD，
∴∠BEF=∠OAH，
∴tan∠BEF=34，∵EB=5，
∴BF=3，EF=4，
∵tan∠EDF=12=EFDF，
∴DF=8，DE=45，BD=11，
∴AD=43×11=443，AB=53×11=553，
∴AE=AB−EB=403，
∵∠ECB=∠EAD，∠EBC=∠EDA，
∴ΔECB∽ΔEAD，
∴ECEA=EBED，
∴EC403=545，
∴EC=1053．
12．【答案】（1）证明：∵四边形BDCE为圆内接四边形，
∴∠ADB=∠BCE，
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
又∵DE=BE，
∴∠DBE=45°，
∵∠A=45°，
∴∠ABC=90°-∠A=45°=∠DBE，
∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD，
∴∠CBE=∠ABD，
∴△ADB∽△CEB；
（2）解： ∵∠BCD=90°，
∴BC= BD2−CD2=8，
∵△ABC和△BED为等腰直角三角形，
∴AB= 2BC= 82，BE= 22BD= 42，
∴AD=AC-CD=8-6=2，
由(1)得△ADB∽△CEB，
∴BEBC=CEAD，即 428=CE2，
解得：CE= 2.
（3）解： 如图1，连接DG，作EH⊥BC，

∵DCCB=13 ，
设DC=k，CB=3k，
由△ABC是等腰直角三角形，则BC=AC=3k，AD=2k，
∵BD为直径，
∴∠DGB=∠DGA=90°，
∵∠A=45°，
∴DG=ADsin∠A= 2k，
∵∠ABC=∠DBE，即∠DBG+∠CBD=∠CBH+∠CBD，
∴∠DBG=∠EBH，
∴△DBG∽△EHB，
∴DBEB=DGEH=2，
∴EH=k，
∵DC∥EH，
∴△DCF∽△EHF，
∴EFDF=EHDC=1；
如图2，连接DG，作EH⊥BC于点H，

∵DCCB=13 ，
设DC=k，CB=3k，
由△ABC是等腰直角三角形，则BC=AC=3k，AD=4k，
∵BD为直径，
∴∠DGB=∠DGA=90°，
∵∠A=45°，
∴DG= 2k，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠DBG=∠EBH，
∴△DBG∽△EHB，
∴DBEB=DGEH=2，
∴EH=2k，
∵DC∥EH，
∴△DCF∽△EHF，
∴EFDF=EHDC=2；
综上 BFDF 的值为1或2.
如图，当点A在BC上方时，方法和结论都一样.

13．【答案】（1）证明：∵直径CD⊥弦AB，
∴AD=BD，
∴∠APD=∠BPD；
（2）解：如图，

作∠BAP的平分线，交PD于I，
证：∵AI平分∠BAP，
∴∠PAI=∠BAI，
∴∠AID=∠APD+∠PAI=∠APD+BAI，
∵AD=BD，
∴∠DAB=∠APD，
∴∠DAI=∠DAB+∠BAI=∠APD+∠BAI，
∴∠AID=∠DAI，
∵∠AIP+∠DAI=180°，
∴∠AIP+∠DAI=180°；
（3）解：如图2，

连接BI，AC，OA，OB，
∵AI平分∠BAP，PD平分∠APB，
∴BI平分∠ABP，∠BAI=12∠BAP，
∴∠ABI=12∠ABP，
∵∠APB=60°，
∴∠PAB+∠PBA=120°，
∴∠BAI+∠ABI=12（∠BAP+∠ABP）=60°，
∴∠AIB=120°，
∴点I的运动轨迹是AB，
∴DI=DA，
∵∠AOB=2∠APB=120°，
∵AD⊥AB，
∴AD=BD，
∴∠AOB=∠BOD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=AO，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠CAD，
∵∠ADC=∠ADE，
∴△ADE∽△CDA，
∴ADCD=DEAD，
∴AD2=DE•CD，
∵DI′=DI=AD，
∴DI2=DE•CD，
∵∠I′DE是公共角，
∴△DIE∽△DCI，
∴ICIE=CDDI=2．
14．【答案】（1）证明：连接OE，OP，

∵AD为直径，点Q为弦EP的中点，
∴AB垂直平分EP，
∴BP=BE，
∵OE=OP，OB=OB，
∴△BEO≌△BPO，
∴∠BEO=∠BPO，
∵BP为⊙O的切线，
∴OP⊥BP，
∴∠BPO=90°，
∴∠BEO=90°，
∴OE⊥BC于点E，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
（2）证明：∵∠BEO=∠ACB=90°，
∴AC//OE，
∴∠CAE=∠OEA，
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠OEA，
∴∠CAE=∠EAO，
∴AE平分∠CAB．
（3）解：由（1）得：EP⊥AB，
∴∠AQE=90°．
∵CG⊥AB，
∴∠CGA=90°，
∴∠CGA=∠AQE=90°，
∴CG//EP，即CH//EP．
∴∠QEH=∠CHE．
∵∠ACE=∠AQE=90°，AE=AE，
由（2）得∠CAE=∠EAO，
∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴∠CEH=∠QEH，CE=QE，
∴∠CEH=∠CHE，
∴CH=CE，
∴CH=QE=5，
∵CH∥EP，
∴四边形CHQE是平行四边形．
∵CH=CE，
∴四边形CHQE是菱形，
∴QH=EQ=5．
设HG=x，则AG=2x，GQ=10−2x，
在Rt△QHG中，根据勾股定理得：HG2+GQ2=QH2，
∴x2+(10−2x)2=52，解得x1=3，x2=5（不合题意，舍去）．
∴HG=3，GQ=10−2x=4．
∴四边形CHQE的面积=CH⋅GQ=5×4=20．
15．【答案】（1）证明：连接OD，

∵DP=DP，
∴∠DBP＝∠DEP，
∵∠FDP＝∠DEP，
∴∠FDP=∠DBP，
∵BP是⊙O的直径，
∴∠BDP=90°，
∴∠DBP+∠OPD=90°，
∵OD=OP，
∴∠OPD=∠ODP，
∴∠FDP+∠ODP=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：连接BE，如图所示：

∵DP=EP，
∴∠CBP＝∠EBP，
∵∠ABE+∠A＝90°，∠C+∠A＝90°，
∴∠C＝∠ABE，
∵∠APB＝∠CBP+∠C，∠ABP＝∠EBP+∠ABE，
∴∠APB＝∠ABP，
∴AP＝AB；
（3）解：由AB＝15，BC＝20，
由勾股定理得：AC＝AB2+BC2＝152+202＝25，
∵12AB•BC＝12AC•BE，
即12×15×20＝12×25×BE，
∴BE＝12，
∵BP是直径，
∴∠PDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴PD∥AB，
∴△DCP∽△BCA，
∴CPAC＝CDBC，
∴CP＝AC⋅CDBC＝25CD20＝54CD，
△BDE是等腰三角形，分两种情况：
①当BD＝BE时，BD＝BE＝12，
∴CD＝BC﹣BD＝20﹣12＝8，
∴CP＝54CD＝54×8＝10；
②当BD＝ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，
∴CD＝12BC＝10，
∴CP＝54CD＝54×10＝252；
综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为252或10．
．
16．【答案】（1）解：如图1，在矩形ABCD中，CD＝AB＝4，BC＝AD＝3，∠BCD＝90°，
设切点为H．连接CH，

∵ BD与⊙C相切于H，
∴ CH⊥BD，
根据勾股定理得，BD＝CD2+BC2=5，
∵ S△BCD＝12BC•CD＝12BD•CH，
∴ CH＝BC·CDBD=125，
即⊙C的半径为125；
（2）解：如图2，连接CP，CQ，过点C作CM⊥AP于M，

∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC＝BD＝5，
在Rt△ACM中，sin∠PAC＝CMAC=6325，
∴ CM＝635，
在Rt△CMP中，sin∠CPM＝CMCP=635125=32，
∴∠CPM＝60°，
即∠CPA＝60°，
∵ CP＝CQ，
∴ △CPQ是等边三角形，
∴ ∠ PCQ＝60°，
∴ 弧PQ的长为60π×125180=4π5；
（3）解：如图备用图，过点P作PP'∥AC，过点C作CN⊥PP'于N，

则∠PCN＝∠P'CN，∠ECN＝∠CNP＝90°，
∴ 点P到AC的距离d＝CN，
∵ 0＜d≤635，
∴ 0＜CN≤635，
当CN＝0时，点P在直线AC上，∠PCE＝0°，
当CN＝635时，连接CP，CP'，
在Rt△P'CN中，cos∠P'CN＝CNCP＝635125＝32，
∴ ∠P'CN＝30°，
∴ ∠PCN＝∠P'CN＝30°
∴ ∠P'CE＝∠ECN﹣∠P'CN＝60°，∠PCE＝∠ECN+∠PCN＝120°，
∴ ∠PCE度数的取值范围为0°＜∠PCE≤60°或120°≤∠PCE＜180°
17．【答案】（1）证明：如图1，连接OD，OB，OC，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴OD⊥BC，
∵MN//BC，
∴OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，

∵AH是直径，
∴∠ABH=90°=∠AFC，
又∵∠AHB=∠ACF，
∴ΔACF∽ΔAHB，
∴ACAH=AFAB，
∴AB⋅AC=AF⋅AH
∵⊙O的半径为3，AF=4.
∴AB⋅AC=6×4=24
（3）解：如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，

∵∠BAC=2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=α，
∴BD=CD，
∴BD=CD，
∵∠BAD=∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，
∴DQ=DP，
∴RtΔDQB≅RtΔDPC(HL)，
∴BQ=CP，
∵DQ=DP，AD=AD，
∴RtΔDQA≅RtΔDPA(HL)，
∴AQ=AP，
∴AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ，
∵cos∠BAD=AQAD，
∴AD=AQcosα，
∴AB+ACAD=2AQAQcosα=2cosα.
18．【答案】（1）证明：连接BO，PO.

∵ PA为⊙O的切线，
∴ PA⊥OA，即∠PAO＝90°.
∵ PA＝PB， OA＝OB，
∴ ∠PAB＝∠PBA，∠OAB＝∠OBA.
∴ ∠PAB＋∠OAB＝∠PBA＋∠OBA，
即 ∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴ PB⊥OB，
∴ PB为⊙O的切线.
（2）解：连接PO.

∵ PA、PB为⊙O的切线，
∴ PA＝PB＝6，∠APO＝∠BPO，即∠1＝∠2＋∠3，
∵ ∠APB＝4∠BPC，
∴ ∠APM＝3∠BPM，
∴ ∠1＋∠2＝3∠3，
∴ 2∠2＋∠3＝3∠3，即∠2＝∠3＝ 12 ∠1.
设∠2＝∠3＝α，则∠1＝2α，∠APB＝4α，
∴∠PBA＝ 12 （180°－4α）＝90°－2α，
又∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠PBC＝180°－2α，
∴ ∠4＝180°－∠3－∠PBC＝180°－α－（180°－2α）＝α，
∴ ∠3＝∠4，
∴BC＝PB＝6.
（3）解：连接PO交AB于点Q，连接BO、BC.

∵ PA、PB为⊙O的切线，
∴ PA＝PB，∠APO＝∠BPO
∴ AQ＝BQ＝ 12 AB，∠PQM＝90°
∵ AB＝4BM，
∴2BQ＝4BM，即BQ＝2BM
∴ M为BQ中点 .
设BM＝QM＝x，则AQ＝BQ＝2x，AM＝3x，
∵ ∠PQM＝∠CBM＝90°，BM＝QM，∠PMQ＝CMB
∴ △PQM≌△CBM（ASA）
∴ PM＝CM
∵ ∠PAC＝90°，
∴AM＝CM＝3x
∴MCMB=3xx=3
（4）22
19．【答案】（1）证明：如图，连接 OC ，

∵OA=OC ，
∴∠OAC=∠OCA ，
∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴OC⊥CD ，即 ∠OCD=90° ，
∴∠OCA+∠DCE=90° ，
∵ED⊥AD ，
∴∠OAC+∠E=90° ，
∴∠DCE=∠E ，
∴CD=DE ；
（2）解：设 ⊙O 的半径为 r ，则 OB=OC=r ，
∵BD=1 ，
∴OD=OB+BD=r+1 ，
由（1）已证： CD=DE ，
∴CD=5 ，
在 Rt△COD 中， OC2+CD2=OD2 ，即 r2+(5)2=(r+1)2 ，
解得 r=2 ，
即 ⊙O 的半径为2；
（3）解：如图，连接 AF,BF,PB ，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠AFB=90° ，
∵CF 平分 ∠ACB ，
∴∠ACF=∠4=12∠ACB=45° ，
由圆周角定理得： ∠1=∠ACF=45°=∠4 ，
∴Rt△ABF 是等腰直角三角形， AF=BF ，
∴AB=AF2+BF2=2BF ，
由（2）已得： AB=2OB=4 ，
∴2BF=4 ，解得 BF=22 ，
∵P 为 △ABC 的内心，
∴∠2=∠3 ，
∴∠FPB=∠3+∠4=∠2+∠1=∠FBP ，
∴PF=BF=22 .
20．【答案】（1）解：直线PQ与⊙O相切.理由如下：
连接OP、CP.

∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°.
又∵Q是AC的中点，
∴PQ=CQ=AQ.
∴∠3=∠4，
∵∠BCA=90°，
∴∠2+∠4=90°.
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=90°.
即∠OPQ=90°，
∴直线PQ与⊙O相切；
（2）解：①在Rt△APC中，AP=4，tanA= 12
∴CP=AP×tanA=4× 12 =2
∴AC= AP2+PC2=42+22=25
在Rt△ABC中，AC= 25 ，tanA= 12
∴BC=AC×tanA= 25 × 12 = 5
即⊙O的半径长为 52
②连接OQ

∵Q是AC的中点，O是BC的中点
∴OQ∥AB，OQ= 12 AB= 52
∴△DOQ∽△DBP
∴DPDQ=BPOQ
即： DPDP+PQ=BPOQ
又BP=1，PQ= 12 AC= 5
∴DPDP+5=152
即：PD= 253
21．【答案】（1）解：连接OD，

∵直径AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，
∴DE= 12 CD=4，OD= 12×10=5 ，
∴OE=OD2−DE2=52−42=3,
∴AE=OA+OE=5+3=8，
∵DP=2，
∴PE=PD+DE=2+4=6，
∴tan∠P= AEPE=86=43 ，
连接BQ，则∠AQB=90°，
∵AP=AE2+PE2=62+82=10
在RT△ABQ中，
AQ＝ABcos∠BAQ= AB×AEAP =10× 810 =8.
（2）①证明：连接BQ，AC，

∵AQ=AQ ，
∴∠ACQ=∠ABQ，
∵AB为直径，
∴∠QAB+∠ABQ= 90°，
∴AB⊥CP，
∴∠P+∠BAP= 90°，
∴∠ACQ =∠CPA.
②连接BC，过点A作AC的垂线交CQ的延长线于点N，

∵AB为直径，
∴∠ACB=∠NAC=90°，
∴BC∥AN，
∴△FCB∽△FNA，
∴FBFA=BCAN ，
∵AB⊥CD，AE=8，CE=4，
∴AC=82+42=45 ， BC=BE2+CE2=42+22=25 ，
tan∠P= AEPE=8x+4 ，
∵DP=x， AFBF=y
∴y= ANBC=AC×tan∠ACQBC=AC×tan∠PBC=45×8x+425=16x+4
（3）当OF= 1时，F在O的右边时，AF = 6；当F在O的左边时，AF =4.
当AF=6时，则BF=4，
∴y= 32 ，
∴16x+4=32
解得x= 203 .
经检验： x=203 是原方程的根且符合题意.
如图，连接QD，

∵四边形ACDQ为⊙O的内接四边形，
∵∠ACQ= ∠P，∠ CAQ= ∠PDQ，
∴△PDQ∽△CAQ.
∴S△PDQS△ACQ=(PDAC)2=(20345)2=59
∴S△PDQS△CDQ=PDCD=2038=56
∴S△ACQS△CDQ=96=32
当AF=4时，y= 23 ，解得x =20.
同理可得 S△ACQS△CDQ=12
∴当OF= 1时，△CDQ与△ACQ的面积之比为 32 或 12 .
22．【答案】（1）解：如图1，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴∠DEA=∠ABC，
∴BC∥DF，
∴∠F=∠PBC，
∵四边形BCDF是圆内接四边形，
∴∠F+∠DCB=180°，
∵∠PCB+∠DCB=180°，
∴∠F=∠PCB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PC=PB；
（2）①∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥DC，
∵BC∥DE，
∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC=DH=1；
②如图2，连接OD，BD

在Rt△ABC中，AB= 3 ，tan∠ACB= ABBC=3 ，
∴∠ACB=60°，
∴∠BAC=30°
∴BC= 12 AC=OD，
∴DH=OD，
在等腰三角形DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°，
设DE交AC于N，
∵BC∥DE，
∴∠ONH=∠ACB=60°，
∴∠NOH=180°-（∠ONH+∠OHD）=40°，
∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°，
∵OA=OD，
∴∠OAD= 12 ∠DOC=20°，
∴∠CBD=∠OAD=20°，
∴∠CAD=∠CBD=20°.