2021-2022学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2021-2022学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级（下）第一次月考数学试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是A. ， B. ，
C. ， D. ，如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为A.
B.
C.
D. 下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，函数的图象过点A.  B.  C.  D. 下列命题中是真命题的选项是A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 三条边都相等的四边形是菱形下面分别给出了变量，之间的对应关系，其中是的函数的是A.  B.
C.  D. 下列不能判定是直角三角形的是A.  B. ：：：：
C. ：：：： D. 九章算术中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高一丈丈尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺．若设折断处离地面的高度为尺，则可以列出关于的方程为
A.  B.
C.  D. 若顺次连接四边形各边的中点所得到的四边形是正方形，则四边形一定是A. 矩形 B. 菱形
C. 正方形 D. 对角线垂直且相等的四边形亮亮每天都要坚持体育锻炼，某天他跑步到离家较近的秀湖公园，看了一会喷泉表演然后慢慢走回家，如图能反映当天亮亮离家的距离随时间变化的大致图象是A.  B.
C.  D. 如图，在中，，为的中点，点在上，且，，则的大小为A.
B.
C.
D. 如图，在正方形中，为边上一点，将沿着翻折得到，点的对应点恰好落在对角线上，连接若，则A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）在函数中，自变量的取值范围是______．如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么的取值范围是______．已知，那么______．已知，，为三角形的三边，若有，则这个三角形的形状是______三角形．如图：在四边形中，，，于，若四边形的面积为，则的长为______．
  如图，矩形中，对角线，相交于点，，，，交于点，交于点，延长交于点，则下列结论：；四边形是菱形；≌；其中结论正确的是______． 三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）已知：如图，在平行四边形中，点、为对角线上两点，且求证：．
  






 已知与成正比例，且时，．
求与之间的函数关系式；
当时，求的值．






 如图，在中，，为边上的中线，，．
求证：四边形是菱形；
连接，若，，求及的长．







 甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元．
分别求出，与之间的关系式；
当所买商品为件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由．






 我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
求证：；
海港受台风影响吗？为什么？
若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？







 如图，在▱中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．
求证：≌；
当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．







 如图，在中，，，点，分别为边，上的中点，且．

如图，将绕点逆时针旋转任意角度，连接，，则线段与的关系是______；
如图，，连接，判断的形状，并求出的长；
继续旋转，当时，请直接写出的长．






 正方形边长为，点在边上点与点，不重合，点，分别在边，上点与点、不重合，直线与相交于点．
如图，若，求证：；
在的条件下，平移直线，使点与点重合，如图，连接、，设，的面积为，用含的代数式表示；
如图，若，且，请你直接写出的长不需要过程．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、，，
不能判定四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、，，
，
，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 2.【答案】
 【解析】解：点、分别是、的中点，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 3.【答案】
 【解析】解：，，
，
以，，为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，，
，
以，，为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
C.，，
，
以，，为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，，
，
以，，为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 4.【答案】
 【解析】解：当，，故函数的图象不经过，那么不符合题意．
B.当，，故函数的图象不经过，那么不符合题意．
C.当，，故函数的图象经过，那么符合题意．
D.当，，故函数的图象不经过，那么不符合题意．
故选：．
根据一次函数图象上的点的坐标特征解决此题．
本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征是解决本题的关键．
 5.【答案】
 【解析】解：、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
B、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；
D、四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题；
故选：．
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
 6.【答案】
 【解析】解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以D正确．
故选：．
函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
 7.【答案】
 【解析】解：、由，可得，故是直角三角形，不符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符合题意；
C、：：：：，，故不是直角三角形，符合题意；
D、，，故是直角三角形，不符合题意；
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 8.【答案】
 【解析】解：竹子原高一丈丈尺，折断处离地面的高度为尺，
竹梢到折断处的长度为尺．
依题意得：．
故选：．
由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 9.【答案】
 【解析】已知：如右图，四边形是正方形，且、、、分别是、、、的中点，求证：四边形是对角线垂直且相等的四边形．
证明：由于、、、分别是、、、的中点，
根据三角形中位线定理得：，，
四边形是正方形，即，，
，，
故选D．
此题要根据正方形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，故原四边形的对角线必互相垂直且相等，由此得解．
本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理以及正方形的判定，解题的关键是构造三角形，利用三角形的中位线定理解答．
 10.【答案】
 【解析】解：图象应分三个阶段，第一阶段：跑步到离家较近的秀湖公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大；
第二阶段：看了一会喷泉表演，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变．故D错误；
第三阶段：慢走回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，故A错误，并且这段的速度小于第一阶段的速度，则C错误．
故选：．
根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断．
此题考查函数的图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的斜率判断运动的速度是解决本题的关键．
 11.【答案】
 【解析】解：，，
，
，
，
，
，为的中点，
，
是等边三角形，，
，
．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，根据直角三角形的性质得到，得到是等边三角形，，于是得到结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
 12.【答案】
 【解析】解：过点作交于点，
由折叠可知，，，，
设正方形的边长为，
，
，，，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
在中，，
故选：．
点作交于点，设正方形的边长为，则，由折叠可知，，，，可得，，在中，由勾股定理可得，解得，即为正方形的边长为，再求出，由，可求，，在中，由勾股定理可得．
本题考查正方形的性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．
 13.【答案】
 【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以，解不等式可求的范围．
此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 14.【答案】
 【解析】解：正比例函数的的图象经过第二、四象限，
，
解得，．
故答案是：．
根据正比例函数的性质正比例函数，当时，该函数的图象经过第二、四象限解答．
本题主要考查了正比例函数的性质．正比例函数，当时，该函数的图象经过第二、四象限；当时，该函数的图象经过第一、三象限．
 15.【答案】
 【解析】解：当时，．
故答案为：．
将的值代入函数解析式进行求值．
本题主要考查求函数值，熟练掌握函数值的求法是解决本题的关键．
 16.【答案】直角
 【解析】解：，可得：，
所以三角形是直角三角形，
故答案为：直角
利用完全平方公式展开后计算，利用勾股定理的逆定理解答即可．
本题主要考查勾股定理的逆定理，解题的关键是利用完全平方公式展开后计算．
 17.【答案】
 【解析】解：过点作交于，

，，，
≌，
，
又四边形的面积为，即，
即，
则，
解得．
故答案为．
可过点作，得出≌，得出线段之间的关系，进而将四边形的面积转化为矩形的面积与个的面积，通过线段之间的转化，即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、矩形面积的计算，能够熟练掌握．
 18.【答案】
 【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
是的垂直平分线，
，故正确；
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是菱形，故正确；
≌≌，
正确；
，，，
，故正确；
故答案为：．
根据矩形的性质和等边三角形的判定得出是等边三角形，进而判断正确；根据证明与全等，进而判断正确；根据全等三角形的性质判断正确即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
 19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即．
 【解析】证明≌，由全等三角形的性质可得出答案．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
 20.【答案】解：与成正比例，
设，
时，
，
解得：，
与之间的函数关系式为：，即；
当时，，
解得：．
 【解析】设，然后把时代入可得的值，进而可得函数解析式；
把的值代入函数解析式可得的值．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤．
 21.【答案】证明：连接，交于，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，为的中点，
，
，
四边形是菱形；

解：过作，交的延长线于
，，，

，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
．
 【解析】连接，交于，根据平行四边形的判定和性质得到，，根据直角三角形的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论
过作，交的延长线于，根据直角三角形的性质得到根据勾股定理得到，根据平行线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 22.【答案】解：当时，；
当时，．
，
，
；
时，，
，
，
所买商品为件时，应选择乙商场更优惠．
 【解析】根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可；
根据函数解析式分别求出时的函数值，即可得解．
本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键．
 23.【答案】解：，，，
．
是直角三角形，
；

海港受台风影响．
理由如下：如图，过点作于．
，
，
，
海港受到台风影响；

当，时，正好影响港口．
在中，由勾股定理得
，
，
台风的速度为，
．
台风影响该海港持续的时间为．
 【解析】利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形；
利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
 24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
点，分别为，的中点，
，，
，
在和中，

≌；
解：当时，四边形是矩形；理由如下：
，，
，
是的中点，
，
，
同理：，
，
，
由得：≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
 【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
由平行四边形的性质得出，，，，由平行线的性质得出，证出，由证明≌即可；
证出，由等腰三角形的性质得出，，同理：，得出，由三角形中位线定理得出，，得出四边形是平行四边形，即可得出结论．
 25.【答案】，
 【解析】解：与垂直且相等，理由如下：
延长交于，交于，

和都是等腰直角三角形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
，
故答案为：，；
设与的交点为，

，
，
，
是的垂直平分线，
，
由知，
，
是等腰三角形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
如图，当点在上方时，
过点作于，
，，
、、三点共线，

，
，
；
如图，当点在下方时，

同理可得．
综上：或．
延长交于，交于，证明≌，得，，再由，可得，即可得到结论；
设与的交点为，可得是的垂直平分线，利用勾股定理可求出的长，由知，从而得出答案；
分当点在上方时和当点在下方时，分别画图，利用勾股定理计算即可．
本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，根据前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
 26.【答案】证明：如图中，作交于，交于点．

四边形是正方形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，，
，
，，
，
≌，
，
．

如图中，

，，，
≌，
，
，
，



．

如图中，将绕点逆时针旋转得到作交于点，连接．

则四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，，设，则，，
在中，，
，
，
在中，，
．
 【解析】如图中，作交于，交于点只要证明四边形是平行四边形，≌即可解决问题；
根据计算即可解决问题；
如图中，将绕点逆时针旋转得到作交于点，连接由≌，推出，由，，推出，，设，则，，在中，根据，构建方程求出，再在中，求出即可解决问题；
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．