2021-2022学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学九年级（上）第三次月考数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学九年级（上）第三次月考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学九年级（上）第三次月考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．）
1．（3分）在0、﹣3、﹣3.14，π中，最大的有理数的是（　　）
A．0 B．﹣3 C．﹣3.14 D．π
2．（3分）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，它将与距离地球表面约390000米外的天和核心舱对接，将390000用科学记数法表示为（　　）
A．3.9×104 B．3.95 C．3.9×105 D．39×106
3．（3分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．x8÷x2＝x6 C． D．（a5）2＝a7
5．（3分）下面图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（　　）

A．四棱柱 B．四棱锥 C．圆柱 D．圆锥
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）对于反比例函数y，下列说法不正确的是（　　）
A．这个函数的图象分布在第一、三象限
B．点（1，4）在这个函数图象上
C．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
8．（3分）已知△ABC∽△A′B′C′，，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠AOC＝（　　）

A．64° B．58° C．68° D．55°
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　）

A．sinA B．tanA C．cosA D．tanB
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）分解因式：b2﹣6b+9＝　 　．
12．（3分）已知x1，x2 的是一元二次方程3x2﹣2x﹣5＝0 的两个实数根，则x1+x2＝　 　．
13．（3分）在圆心角为90°的扇形AOB中，半径OA＝6cm，则扇形OAB的面积为　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为　 　．

15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为　 　．

16．（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将△DBE翻折得到△DFE，且点F恰好落在直线OA上．下列四个结论：①DE∥AC；②CE＝AD；③tan∠FED；④S△EOF＝k．其中结论正确的有 　 　.（仅填序号即可）

三、解答题（共72分）
17．计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3|．
18．先化简，再求值：（1），其中a＝﹣4．
19．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2）、B（﹣3，﹣4）、C（﹣1，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C，使△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A1的坐标；
（2）△A1B1C与△ABC的面积比为　 　．

20．为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了 　 　名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为 　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
（4）德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
21．如图，AB是郑州航空港区某建筑工地的斜坡，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为8m，B、C在同一水平地面上．
（1）求斜坡AB的水平宽度BC；
（2）矩形DEFG为某种建筑材料的左视图，其中DE＝5m，EF＝4m，将建筑材料沿斜坡向上运送，当BF＝7m时，求点D离地面的高（1.414，1.732，2.236，结果精确到0.1m）

22．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．

23．如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG，sinB，求DE的长．

24．投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”，选自《九年级下册教材》P89，粹园的同学们学完此节内容后，开始探究正投影在平面直角坐标系的应用．若平面直角坐标系中，规定曲线AB在坐标轴上的正投影的长度称为在该轴上的“影长”，记为“l”．AB两点在对应坐标轴上的正投影之间的范围称为在该轴上的“影长范围”，例如：如图，曲线AB，其中A（﹣3，1）、B（1，3），则曲线AB在x轴上的“影长”l为4，在x轴上的“影长范围”为﹣3≤x≤1．
（1）已知反比例函数的部分图象在y轴上的“影长范围”是1≤y≤3，求其在x轴上的“影长”以及“影长范围”．
（2）若二次函数y＝﹣x2+ax+2a的部分图象在x轴上的“影长范围”是﹣4≤x≤2，且在y轴上的“影长范围”的最大值为10，求满足条件的a的值．
（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝﹣bx﹣2c交于A、B两点，当a+b+c＝0，且实数a＞2b＞3c，求线段AB在x轴上的“影长”的取值范围．

25．如图1，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣24m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若tan∠BCO＝2，点P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，作PQ⊥x轴于点Q，连接PA，当△APQ与△BOC相似时，求点P的坐标；
（3）如图2，在第（2）问的条件下，若PA与y轴交于点E，且OE＜OB，连接BE，以BE为直径画圆交抛物线于点D，连接DB、DE．
①直接写出点D的坐标；
②作DF平分∠BDE交BE于点F，过点F作直线l与射线DB、DE分别交于点M、N，当直线l绕点F旋转时，试判断的值是否变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．



2021-2022学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学九年级（上）第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．）
1．（3分）在0、﹣3、﹣3.14，π中，最大的有理数的是（　　）
A．0 B．﹣3 C．﹣3.14 D．π
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣3.14＜﹣3＜0＜π，
而π不是有理数，
∴最大的有理数是0，
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，它将与距离地球表面约390000米外的天和核心舱对接，将390000用科学记数法表示为（　　）
A．3.9×104 B．3.95 C．3.9×105 D．39×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将390000用科学记数法表示为3.9×105，
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．x8÷x2＝x6 C． D．（a5）2＝a7
【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；二次根式的乘法计算；幂的乘方，底数不变，指数相乘，利用排除法求解．
【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意．
B、原式＝x8﹣2＝x6，计算正确，故本选项符合题意．
C、原式，计算错误，故本选项不符合题意．
D、原式＝a5×2＝a10，计算错误，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与合并同类项以及同底数幂的除法，属于基础计算题，熟记相关计算法则即可解答．
5．（3分）下面图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（　　）

A．四棱柱 B．四棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个的圆柱．
【解答】解：此几何体为一个圆柱，
故选：C．
【点评】考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2﹣x≤1，得：x≥1，
解不等式2x+3＞x+6，得：x＞3，
则不等式组的解集为x＞3，
其解集在数轴上表示为：
．
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）对于反比例函数y，下列说法不正确的是（　　）
A．这个函数的图象分布在第一、三象限
B．点（1，4）在这个函数图象上
C．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小进行分析即可．
【解答】解：A、反比例函数中的k＝4＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，正确，不符合题意；
B、点（1，4）在它的图象上，正确，不符合题意；
C、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，正确，不符合题意；
D、反比例函数y中的k＝4＞0，其在每一象限内y随x的增大而减小，不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象与性质，关键掌握以下性质：反比例函数y（k≠0），当k＞0，反比例函数图象在一、三象限，每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，每个象限内，y随x的增大而增大
8．（3分）已知△ABC∽△A′B′C′，，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比＝（）2，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠AOC＝（　　）

A．64° B．58° C．68° D．55°
【分析】利用圆周角定理即可求解．
【解答】解：如图，∵∠B＝32°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×32°＝64°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　）

A．sinA B．tanA C．cosA D．tanB
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC3，
∴sinA，故选项A错误；
tanA，故选项B错误；
cosA，故选项C正确；
tanB，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）分解因式：b2﹣6b+9＝　（b﹣3）2　．
【分析】根据完全平方公式进行分析即可．
【解答】解：原式＝（b﹣3）2，
故答案为：（b﹣3）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
12．（3分）已知x1，x2 的是一元二次方程3x2﹣2x﹣5＝0 的两个实数根，则x1+x2＝　　．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，那么x1+x2，x1•x2．
13．（3分）在圆心角为90°的扇形AOB中，半径OA＝6cm，则扇形OAB的面积为　9πcm2　．
【分析】根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵圆心角为90°的扇形AOB中，半径OA＝6cm，
∴扇形OAB的面积9π（cm2），
故答案为：9πcm2．
【点评】别人看出来扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为　8　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出AE，进而求出AC．
【解答】解：∵DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，
∴，即，
解得，AE＝6，
∴AC＝AE+EC＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为　　．

【分析】先利用垂径定理得到CE＝DECD＝2，设OC＝r，根据勾股定理得（r﹣1）2+22＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝DECD＝2，
设OC＝r，则OE＝OA﹣AE＝r﹣1，
在Rt△COE中，（r﹣1）2+22＝r2，解得r，
即OC的长为．
故答案为．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
16．（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将△DBE翻折得到△DFE，且点F恰好落在直线OA上．下列四个结论：①DE∥AC；②CE＝AD；③tan∠FED；④S△EOF＝k．其中结论正确的有 　①③④　.（仅填序号即可）

【分析】设OA＝a，OC＝b，E点的纵坐标为b，A的横坐标为a，分别代入y，可得E、D两点的坐标，根据矩形的性质得到比例式可判断①；
根据①中得到的比例式和BC≠AB，CE≠AD可判断②；
根据相似三角形的判定可得△EGF∽△FAD，再利用三角函数可判断③；
根据相似三角形对应边成比例和垂直平分线的性质定理可判断④．
【解答】解：设OA＝a，OC＝b，
E点的纵坐标为b，A的横坐标为a，分别代入y，
得E（，b），D（a，），
∴CE，AD，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝a，OC＝AB＝b，
∴BE＝a，BD＝b，
∴，，
∴，
∴DE∥AC，故①正确；
∵，
∴，
∵BC≠AB，
∴CE≠AD，故②错误；
过点E作EG⊥OA于点G，

∴∠EGA＝∠FAD＝90°，
∵∠B＝∠EFD＝90°，
∴∠GEF+∠GFE＝90°，
∵∠GFE+∠AFD＝90°，
∴∠GEF＝∠AFD，
∴△EGF∽△FAD，
∴DF：EF＝AF：EG，
∵∠EGA＝∠GAB＝90°，
∴四边形EGAB是矩形，
∴EB＝AG，EG＝AB，
∴DF：EF＝AF：AB，
在Rt△EFD中，tan∠FED，
∴tan∠FED，故③正确；
∵BE＝EF＝a，BD＝FD＝b，且△EGF∽△FAD，
∴，
∴GF，
∴CE＝OG，
∴OG＝GF，
∴OF＝2OG，
∴S△EOF•OF•EG••b＝k，
故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定以及反比例函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键，综合性较强．
三、解答题（共72分）
17．计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3|．
【分析】先计算负整数次幂、零指数幂、特殊三角函数、绝对值的运算，再进行加减运算即可．
【解答】解：原式＝2+1﹣22

．
【点评】此题考查的是实数的运算，掌握负整数次幂、零指数幂、特殊三角函数、绝对值的运算法则是解决此题关键．
18．先化简，再求值：（1），其中a＝﹣4．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）


＝a+1，
当a＝﹣4时，原式＝﹣4+1＝﹣3．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
19．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2）、B（﹣3，﹣4）、C（﹣1，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C，使△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A1的坐标；
（2）△A1B1C与△ABC的面积比为　4：1　．

【分析】（1）延长CA到A1使AA1＝CA，延长CB到B1使BB1＝CB，从而得到△A1B1C；然后写出点A1的坐标；
（2）利用位似的性质求解．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作；点A1的坐标为（﹣3，0）；

（2））△A1B1C与△ABC的面积比为4：1．
故答案为4：1．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
20．为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了 　40　名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为 　108°　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
（4）德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【分析】（1）由成绩“良好”的学生人数除以所占百分比求出德育处一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）把条形统计图补充完整即可；
（3）由该校共有学生人数乘以在这次竞赛中成绩优秀的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）德育处一共随机抽取的学生人数为：16÷40%＝40（名），
则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：40﹣10﹣16﹣2＝12（名），
∴在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为：360°108°，
故答案为：40，108°；
（2）把条形统计图补充完整如下：

（3）1400350（名），
即估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀；
（4）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
21．如图，AB是郑州航空港区某建筑工地的斜坡，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为8m，B、C在同一水平地面上．
（1）求斜坡AB的水平宽度BC；
（2）矩形DEFG为某种建筑材料的左视图，其中DE＝5m，EF＝4m，将建筑材料沿斜坡向上运送，当BF＝7m时，求点D离地面的高（1.414，1.732，2.236，结果精确到0.1m）

【分析】（1）根据坡度定义直接解答即可；
（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH＝∠SBH，根据，得到GH＝2m，利用勾股定理求出DH的长，求出BH＝10m，进而求出HS，然后得到DS即可．
【解答】解：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝8m，
∴BC＝2AC＝16m．
（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．如图所示：
∵∠DGH＝∠BSH，∠DHG＝∠BHS，
∴∠GDH＝∠SBH，
∴，
∵DG＝EF＝4m，
∴GH＝2m，
∴DH2，BH＝BF+FH＝7+（5﹣2）＝10m，
设HS＝xm，则BS＝2xm，
∴x2+（2x）2＝102，
∴x＝2m，
∴DS＝2248.9m；
答：点D离地面的高约为8.9m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，熟悉坡度坡角的定义和勾股定理是解题的关键．
22．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．

【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD•CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得，即可求MN的长．
【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD
∴
∴BD2＝AD•CD
（2）∵BM∥CD
∴∠MBD＝∠BDC
∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°
∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA
∴BM＝MD＝AM＝4
∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝48，
∴BC2＝BD2﹣CD2＝12
∴MC2＝MB2+BC2＝28
∴MC＝2
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND
∴，且MC＝2
∴MN

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
23．如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG，sinB，求DE的长．

【分析】（1）连接OC，由垂径定理可知∠GFB＝90°，由切线性质可知∠OCP＝90°，通过导角得到∠FGB＝∠PCG，∠PCG＝∠PGC，即可证明PC＝PG；
（2）连接EC、CD，证明△PCD∽△PEC，再由PC＝PG，即可证明；
（3）连接OG，EO，由垂径定理可得OG⊥BC，在Rt△BOG中，求出OB＝5，BG＝2，再证明△FGB∽△GOB，由对应边的比例关系，可求FB＝4，OF＝1，在Rt△EOF中，求出EF＝2，则ED＝4．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵弦ED垂直AB于点F，AB是⊙O的直径，
∴∠GFB＝90°，
∵∠FGB+∠FBG＝90°，∠OCB+∠BCP＝90°，
∴∠FGB＝∠PCG，
∵∠FGB＝∠PGC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG；
（2）如图1，连接EC、CD，
∵ED⊥AB，AB是圆O的直径，
∴，
∴∠ECB＝∠BCD，
∵PG＝PC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∵∠CGP＝∠E+∠ECB，∠GCP＝∠PCD+∠BCD，
∴∠PCD＝∠E，
∴△PCD∽△PEC，
∴，
∴PC2＝PE•PD，
∵PC＝PG，
∴PG2＝PD•PE；
（3）如图2，连接OG，EO，
∵G为BC中点，
∴OG⊥BC，
在Rt△BOG中，OG，sinB，
∴OB＝5，BG＝2，
∵GF⊥OB，
∴∠B+∠FGB＝90°，∠B+∠BOG＝90°，
∴∠GOF＝∠FGB，
∴△FGB∽△GOB，
∴，
∴，
∴FB＝4，
∴OF＝1，
在Rt△EOF中，OF＝1，EO＝5，
∴EF＝2，
∴ED＝4．


【点评】本题是圆的综合题，难度较大，通过三角形相似，对应边成比例是证明（2）等积式的常用方法，熟练应用垂径定理，构造直角三角形求解是解题的关键．
24．投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”，选自《九年级下册教材》P89，粹园的同学们学完此节内容后，开始探究正投影在平面直角坐标系的应用．若平面直角坐标系中，规定曲线AB在坐标轴上的正投影的长度称为在该轴上的“影长”，记为“l”．AB两点在对应坐标轴上的正投影之间的范围称为在该轴上的“影长范围”，例如：如图，曲线AB，其中A（﹣3，1）、B（1，3），则曲线AB在x轴上的“影长”l为4，在x轴上的“影长范围”为﹣3≤x≤1．
（1）已知反比例函数的部分图象在y轴上的“影长范围”是1≤y≤3，求其在x轴上的“影长”以及“影长范围”．
（2）若二次函数y＝﹣x2+ax+2a的部分图象在x轴上的“影长范围”是﹣4≤x≤2，且在y轴上的“影长范围”的最大值为10，求满足条件的a的值．
（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝﹣bx﹣2c交于A、B两点，当a+b+c＝0，且实数a＞2b＞3c，求线段AB在x轴上的“影长”的取值范围．

【分析】（1）分别求出当y＝1时，x＝﹣3，当y＝3时，x＝﹣1，再求解即可；
（2）由题意可知，在y轴上的“影长范围”的最大值为10，即函数在﹣4≤x≤2上的最大值为10，分三种情况讨论：①当﹣42时，2a＝10，求得a＝﹣4+2；②当2时，﹣4+4a＝10，解得a（舍）；③当4，﹣16﹣2a＝10，解得a＝﹣13；
（3）由已知可确定a＞0，c＜0，b＝﹣（a+c），设A、B点的横坐标分别且m、n，由ax2+bx+c＝﹣bx﹣2c，根据根与系数的关系可得m+n，mn，设AB在x轴上的影长为l，则l2＝（m﹣n）24（）2﹣4•4，再由a＞2b＝﹣2（a+c），2b＝﹣2（a+c）＞3c，确定，则由l2＝4（）2+3，可求l．
【解答】解：（1）当y＝1时，x＝﹣3，当y＝3时，x＝﹣1，
∴“影长”范围为﹣3≤x≤﹣1，“影长”为2；
（2）∵y＝﹣x2+ax+2a＝﹣（x）22a，
∴抛物线的对称轴为直线x，
①当﹣42时，即﹣8≤a≤4，
∵在y轴上的“影长范围”的最大值为10，
∴2a＝10，
解得a＝﹣4+2或a＝﹣4﹣2（舍），
∴a＝﹣4+2；
②当2时，即a＞4，
当x＝2时，函数有最大值，
∴﹣4+4a＝10，
∴a（舍）；
③当4，即a＜﹣8，
当x＝﹣4时，函数有最大值，
∴﹣16﹣2a＝10，
∴a＝﹣13；
综上所述：a的值为﹣4+2或﹣13；
（3）∵a+b+c＝0，a＞2b＞3c，
∴a＞0，c＜0，b＝﹣（a+c），
设A、B点的横坐标分别且m、n，
∴ax2+bx+c＝﹣bx﹣2c，
∴ax2+2bx+3c＝0，
∴m+n，mn，
设AB在x轴上的影长为l，
∴l2＝（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝（）2﹣44（）2﹣4•4，
∵a＞2b＝﹣2（a+c），
∴，
∵2b＝﹣2（a+c）＞3c，
∴，
∴，
∵l2＝4（）2﹣4•4＝4（）2+3，
∴l．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题转化为二次函数、反比例函数的知识是解题的关键．
25．如图1，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣24m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若tan∠BCO＝2，点P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，作PQ⊥x轴于点Q，连接PA，当△APQ与△BOC相似时，求点P的坐标；
（3）如图2，在第（2）问的条件下，若PA与y轴交于点E，且OE＜OB，连接BE，以BE为直径画圆交抛物线于点D，连接DB、DE．
①直接写出点D的坐标；
②作DF平分∠BDE交BE于点F，过点F作直线l与射线DB、DE分别交于点M、N，当直线l绕点F旋转时，试判断的值是否变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．


【分析】（1）令y＝0，则mx2﹣2mx﹣24m＝0，解方程即可求点A、B的坐标；
（2）根据OB＝2OC，求出m的值，从而确定函数的解析式为yx2x﹣3，设P（t，t2t﹣3）（t＞6），分两种情况讨论：①当∠PAQ＝∠OBC时，可求P（10，7）；②当∠PAQ＝∠OCB时，可求P（22，52）；
（3）①由（2）所求的P点坐标，分别求E点坐标，可知点P（10，7）满足题意，设BE的中点为G（3，1），D（a，b），由直角三角形的性质可得GDBE，则a（a﹣6）+b（b﹣2）＝0，再由ba2a﹣3，求出a的值即可求D点坐标；
②先确定DF⊥x轴，则可求F（4，），设过点F的直线解析式为y＝cx4c，分别求出直线DE、DB的解析式，通过联立方程组分别求M点坐标为（，），N点坐标为（，），过点D作y轴的垂线与过点N作x轴的垂线交于K，则△DNK为等腰直角三角形，过点M作y轴的垂线交DF的延长线交于点H，则△DMH为等腰直角三角形，则DN，DM，．
【解答】解：（1）令y＝0，则mx2﹣2mx﹣24m＝0，
解得x＝6或x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（6，0）；
（2）令x＝0，则y＝﹣24m，
∴C（0，﹣24m），
∵tan∠BCO＝2，
∴OB＝2OC，即6＝2×24m，
∴m，
∴yx2x﹣3，
设P（t，t2t﹣3）（t＞6），
①当∠PAQ＝∠OBC时，，
解得t＝10或t＝﹣4（舍），
∴P（10，7）；
②当∠PAQ＝∠OCB时，2，
解得t＝﹣4（舍）或t＝22，
∴P（22，52）；
综上所述：P点坐标为（10，7）或（22，52）；
（3）①当P（22，52）时，
设直线PA的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝2x+8，
∴E（0，8），
∴OE＝8，
∵OE＜OB，
∴P（22，52）不符合题意；
当P（10，7）时，同理可求直线PA的解析式为yx+2，
∴E（0，2），
∵BE是直径，D点是圆与抛物线的交点，
∴∠BDE＝90°，
设BE的中点为G（3，1），D（a，b），
∴GDBE，
∴2，
∴a（a﹣6）+b（b﹣2）＝0，
∵ba2a﹣3，
∴a（a﹣6）（a﹣6）（a+4）（a2a﹣5）＝0，
∵a≠6，
∴a（a+4）（a2a﹣5）＝0，
整理得（a﹣4）（a2+6a+40）＝0，
∴a＝4，
∴D（4，﹣2）；
②的值不变，理由如下：
设直线BE的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴yx+2，
设直线BD的解析式为y＝k''x+b''，
∴，
解得，
∴y＝x﹣6，
设直线BD与y轴的交点为S，则S（0，﹣6），
∴OS＝OB＝6，
∴∠OBD＝45°，
∵DF平方∠BDE，
∴∠BDF＝∠EDF＝45°，
∴∠OBD＝∠BDF＝45°，
∴DF⊥x轴，
∴F（4，），
设过点F的直线解析式为y＝cx+d，
∴4c+d，
∴d4c，
∴y＝cx4c，
设直线DE的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
联立方程组，
解得，
∴M点坐标为（，），
联立方程组，
解得，
∴N点坐标为（，），
过点D作y轴的垂线与过点N作x轴的垂线交于K，则△DNK为等腰直角三角形，
过点M作y轴的垂线交DF的延长线交于点H，则△DMH为等腰直角三角形，
∴DN（4），DM（4），
∴，
∴．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的判定及性质，圆的性质，勾股定理，解方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
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