2023-2024学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面四个图形中，与是对顶角的图形的个数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

2.  下列命题是真命题的是(    )

A. 相等的角是对顶角 B. 互相垂直的直线一定相交
C. 内错角相等 D. 邻补角相等

3.  下列各数中，无理数的个数有(    )
．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.  点的坐标满足，，则点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  用含盐与含盐的盐水配含盐的盐水千克，设需含盐的盐水千克，含盐盐水千克，则所列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，把沿翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，平分，，于点，，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，平分，于，则下列结论：；平分；；，其中正确的是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.  如图，已知，，如果只添加一个条件不加辅助线使≌，则添加的条件不能为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，，在平面内有一点不与点重合，使得与全等，这样的点有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  对于方程，用含的代数式表示为______ ．

12.  已知样本：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在列频数分布表时，如果取组距为，那么应分成______ 组，这一组的频率是______ ．

13.  已知不等式组的解集为，则的值是        ．

14.  某中学七年级学生外出进行社会实践活动，如果每辆车坐人，那么有个学生没车坐；如果每辆车坐人，那么可以空出一辆车．则共有______辆车，______个学生．

15.  若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是______．

16.  已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是______ ．

17.  一个多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______．

18.  如图，点，，，，根据这个规律，探究可得点的坐标是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.  如图，直线、相交于，平分，于点，，求、的度数．

四、解答题（本大题共6小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
解方程组：；
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

 

22.  本小题分
已知：，，
在坐标系中描出各点，画出．
求的面积；
设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标．

23.  本小题分
如图，四边形中，，，，，与相交于点．
求证：≌；
判断线段与的位置关系，并说明理由．

24.  本小题分
定义：关于，的二元一次方程其中中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．
方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为______ ；
已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值．

25.  本小题分
【问题初探】
和是两个都含有角的大小不同的直角三角板．

当两个三角板如图所示的位置摆放时，、，在同一直线上，连接、，请证明：．
【类比探究】
当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】
如图，在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为，请求出的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据对顶角的定义可知：只有图中的是对顶角，其它都不是．
故选：．
根据对顶角的定义作出判断即可．
本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，掌握对顶角的定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、相等的角不一定是对顶角，是假命题；
B、互相垂直的直线一定相交，是真命题；
C、内错角不一定相等，是假命题；
D、邻补角互补，是假命题；
故选B．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

3.【答案】 

【解析】解：，
故无理数有，，，共个．
故选：．
根据无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：类，如；开方开不尽的数，如；具有特殊结构的数，如两个之间依次增加个，两个之间依次增加个．

4.【答案】 

【解析】解：，，
，，
点在第三象限．
故选：．
由已知先判断出，，即可判断出点在第三象限．
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．

5.【答案】 

【解析】解：设需含盐的盐水千克，含盐盐水千克，由题意得：
，
故选：．
根据题意可得等量关系：含盐的盐水含盐盐水千克；含盐的盐水千克的含盐量含盐盐水千克的含盐量盐的盐水千克的含盐量，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是找出题目中的等量关系列出方程．

6.【答案】 

【解析】解：沿翻折，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据折叠的性质，再根据邻补角的定义运用合理的推理，结合三角形内角和定理即可求出答案．
本题考查了折叠的性质，解题关键在于根据轴对称变化关系找到对应边，对应角．

7.【答案】 

【解析】解：过作，交的延长线于，
，，平分，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
解得：，
故选：．
过作，交的延长线于，根据全等三角形的判定推出≌，根据全等三角形的性质得出，根据全等三角形的判定得出≌，根据全等三角形的性质得出，求出，再代入求出答案即可．
本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，能熟记角平分线的性质是解此题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：，平分，，
；
所以此选项结论正确；
平分，，，
易证≌，
，
平分，
所以此选项结论正确；
，
，
，
，
所以此选项结论正确；
≌，
，
，
，
所以此选项结论正确；
本题正确的结论有个，故选D．
根据角平分线的性质得出结论：；
证明≌，得平分；
由四边形的内角和为得，再由平角的定义可得结论是正确的；
由≌得，再由，得出结论是正确的．
本题考查了全等三角形性质和判定，同时运用角平分线的性质得出两条垂线段相等；本题难度不大，关键是根据证明两直角三角形全等，根据等量代换得出线段的和，并结合四边形的内角和与平角的定义得出角的关系．

9.【答案】 

【解析】解：，
，即．
又，
可以添加，此时满足；
添加条件，此时满足；
添加条件，此时满足；
添加条件，不能证明≌．
故选：．
根据图形可知证明≌已经具备了一个角和一对相等边，因此可以利用、、证明两三角形全等．
本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．

10.【答案】 

【解析】解：，，
，且，
当与全等时，则有≌或≌，
当≌时，则有，
点坐标为或或舍去；
当≌时，则有，
点坐标为；
综上可知点的坐标为或或．
故选：．
由题意可知为两三角形的公共边，由条件可知≌或≌，再由全等三角形的性质可求得或，可求得点坐标．
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意分类讨论．

11.【答案】 

【解析】解：方程，
解得：．
故答案为：
将看做已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．

12.【答案】   

【解析】解：对于样本的数据，最大值为，最小值为，即极差是，则组距，即应分成组，
观察样本，知共有个样本在这一组中，故其频率为．
根据组距、分组数的确定方法：组距最大值最小值组数，进行计算，根据频率频数总数，进行计算．
本题考查组距，分组数的确定方法：组距最大值最小值组数，频率的计算方法：频率频数总数．

13.【答案】 

【解析】解：由得，
，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
解出不等式组的解集，根据不等式组的解集为，可以求出、的值，从而求得的值．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式组的方法是解题的关键．

14.【答案】   

【解析】解：设车有辆，则
，
解得，
把代入．
答：共有辆汽车，个学生．
故答案为：，．
设有辆车，根据如果每辆车坐人，那么有个学生没车坐；如果每辆车坐人，那么可以空出一辆车，可列出方程，进而求出即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，考查学生理解题意的能力，设出汽车数，以人数作为等量关系列方程求解是解决问题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：因为不等式组的解集是，根据同大取较大原则可知：，
当时，不等式组的解集也是，
所以．
故答案为：．
根据不等式组的解集，可判断与的大小．
主要考查了不等式的运用．根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．

16.【答案】 

【解析】解：，
解得：，
由方程的解是非负数，得到，
解得：，
故答案为：．
解方程求得方程的解，由方程的解是非负数，确定出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是．
故答案为：．
设这个多边形的边数为，根据内角和公式以及多边形的外角和为即可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程．

18.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，点，，，的横坐标依次是、、、、、，
纵坐标依次是、、、、、、、，
四个一循环，，
故点坐标是．
故答案为：．
由图形得出点的横坐标依次是、、、、、，纵坐标依次是、、、、、、、，四个一循环，继而求得答案．
本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律．

19.【答案】解：于点，，
，
与是对顶角，
．
平分，
，

． 

【解析】此题利用余角和对顶角的性质，即可求出的度数，利用角平分线及补角的性质又可求出的度数．
此题主要考查了余角，补角及角平分线的定义．

20.【答案】解：

． 

【解析】直接利用立方根以及绝对值、二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

21.【答案】解：，得：，
解得，
将代入，得：，
解得，
方程组的解为；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】利用加减消元法求解即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

22.【答案】解：如图所示：

过点向、轴作垂线，垂足为、．
四边形的面积，的面积，的面积，的面积．
的面积四边形的面积的面积的面积的面积．
当点在轴上时，的面积，即：，解得：，
所点的坐标为或；
当点在轴上时，的面积，即，解得：．
所以点的坐标为或．
所以点的坐标为或或或． 

【解析】确定出点、、的位置，连接、、即可；
过点向、轴作垂线，垂足为、，的面积四边形的面积的面积的面积的面积；
当点在轴上时，由的面积，求得：，故此点的坐标为或；当点在轴上时，的面积，解得：所以点的坐标为或．
本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确的面积四边形的面积的面积的面积的面积是解题的关键．

23.【答案】证明：在和中，
，
≌，
解：理由如下：
≌，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据即可证明≌．
根据≌得到，结合得到，即可得结论．
本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

24.【答案】或 

【解析】解：方程的“交换系数方程”为或，
方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为或．
方程组的解为，方程组的解为．
故答案为：或．
方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为或．
方程组的解为当时，方程组的解为；
方程组的解为当时，方程组的解为 ．
方程与它的“交换系数方程”组成的方程组解为．
将代入，得．
．
的“交换系数方程”为或．
是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，
各系数与各系数对应相等，得，
各系数与各系数对应相等，得
解方程组得．
，
，解得为整数．
，
若为整数，必须有，此时．
．
当时，．
．
解方程组得不是整数，
方程组的解不符合题意，需舍去．
综上，．
根据“交换系数方程”的定义，得到个“交换系数方程”，原方程分别与个“交换系数方程”联立得到个方程组，分别解这两个方程组即可；
根据“交换系数方程”的定义，得到的个“交换系数方程”，分别与原方程联立得到个方程组，分别解这两个方程组，将解分别代入二元一次方程，求出、、之间的关系，进而出求出的值；
首先写出的个“交换系数方程”，其次令的各未知数的系数分别与个“交换系数方程”的对应系数相等，得到个方程组，最后求出符合条件的值即可．
本题考查二元一次方程的解法，过程非常复杂，需要极强的计算能力和耐心．

25.【答案】解：和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，如图，

，，，
≌，
；
，，理由如下：
，
，
，，
≌，
，，
延长与交于点，如图，

，
，
，
，
，
；
【拓展延伸】
过作交延长线于，过作交于，如图，

，
，
，
，，
，
≌，
，，
，
到直线的距离为，
，
，
，
，，
，，
． 

【解析】由等腰直角三角形的性质判断出≌即可得出结论；
先证明≌得到，，再延长与交于点，证明即可得到；
【拓展延伸】
过作交延长线于，可证得≌，可得，再由求出和的长即可．
此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出，是一道难度不大的中考常考题．