2021-2022学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）第三次月考数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）第三次月考数学试卷，共25页。
A．B．C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x2y+3xy＝5x3y2
B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6
C．（3a+b）2＝9a2+b2
D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2
3．（3分）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cmB．3cm，3cm，6cm
C．2cm，5cm，6cmD．5cm，6cm，7cm
4．（3分）化简分式的结果是（ ）
A．B．C．y+1D．
5．（3分）若am＝3，an＝5，则am+n的值是（ ）
A．B．C．8D．15
6．（3分）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（ ）
A．a＝﹣2，b＝﹣3B．a＝2，b＝3C．a＝﹣2，b＝3D．a＝2，b＝﹣3
7．（3分）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝10，则点P到AB的距离是（ ）
A．15B．12C．5D．10
8．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝90°，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠EB．AC＝DF，AB＝DE
C．∠A＝∠D，AB＝DED．AC＝DF，CB＝FE
9．（3分）如果把中的x与y都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的5倍
C．缩小为原来的D．扩大为原来的10倍
10．（3分）已知：a2﹣a﹣1＝0，代数式+a3﹣3a2+a+2021的值（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
二、填空题（本大题共6道题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：a3﹣a＝ ．
12．（3分）若分式的值为0，则x＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，∠1＝25°，则∠C＝ ．
14．（3分）已知在平面直角坐标系中，点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝ °．
16．（3分）如果代数式m2+2m＝1，那么÷的值为 ．
三、解答题（本大题共9道题，共72分）
17．（6分）计算：（π﹣2021）0+|﹣3|+﹣（﹣3）2
18．（6分）先化简，再求值：[（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）]÷2y，其中x＝，y＝．
19．（6分）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B＝33°，则∠CAD＝ °．
（3）已知AB＝13，△ACD的周长为17，则△ABC的周长为 ．
20．（8分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 ；
（3）求△A1B1C1的面积．
21．（8分）为选拔同学参加全市组织的青少年科学知识竞赛，重庆一中在全校进行了“请党放心，强国有我”科学知识竞赛，并对八年级（3）班全体同学本次知识竞赛成绩进行了统计，我们将成绩分为A、B、C、D、E五类，制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）八年级（3）班学生总人数是 人；在扇形统计图中，a的值是 ；
（2）若八年级（3）班得C等级的同学人数是得E等级的同学人数的4倍，请将条形统计图补充完整；
（3）若等级为A表示优秀，等级为B表示良好，等级为C表示合格，等级为D表示不合格，等级为E表示差，根据本次统计结果，估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有多少人？
22．（9分）某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A种原料和2吨B种原料，生产每件乙产品需要3吨A种原料和1吨B种原料．该厂现有A种原料120吨，B种原料50吨．
（1）甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？
（2）在（1）的条件下，去年每件甲产品的售价为3万元，每件乙产品的售价为5万元．根据市场调研情况，今年每件乙产品售价比去年下降10%，问每件甲产品应涨价多少万元，才能使甲、乙两种产品全部出售的总销售额达到144万元？
23．（9分）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE平分∠ADC，DE∥BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝10，求DE的长；
（2）在（1）的条件下，求证：△ADC是等腰三角形．
（3）如图2，若∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝18，求DF的长．
24．（10分）若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的中雅点，我们规定次数超过3次的整式没有中雅点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的中雅点为（6，1）．
（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的中雅点坐标为 ．
（2）若整式B＝﹣9x+8，整式C是整式B与（x+3）2的乘积，求整式C的中雅点坐标．
（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次一项式，整式F是整式E的平方与整式D的乘积，若整式F的中雅点为（﹣3，﹣2），求整式E的表达式．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD，CE平分∠OCD．
（1）A点的坐标为 ；∠OAB的度数为 ．
（2）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由．
（3）如图2，连接CD，CE平分∠OCD，若点C的坐标为（4，3），连接AC交BD于点E，AC与OD交于点F．
①求D点的坐标；
②试判断DE与CF的数量关系，并说明理由．
2021-2022学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10道题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x2y+3xy＝5x3y2
B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6
C．（3a+b）2＝9a2+b2
D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2
【分析】分别根据合并同类项的法则、积的乘方，完全平方公式以及平方差公式化简即可．
【解答】解：A.2x2y和3xy不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故选项B不合题意；
C．（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，故选项C不合题意；
D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相关公式是解答本题的关键．
3．（3分）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cmB．3cm，3cm，6cm
C．2cm，5cm，6cmD．5cm，6cm，7cm
【分析】利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边进行分析即可．
【解答】解：A、2+3＞4，能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、3+3＝6，不能构成三角形，故此选项合题意；
C、2+5＞6，能构成三角形，故此选项不合题意；
D、5+6＞7，能构成三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．（3分）化简分式的结果是（ ）
A．B．C．y+1D．
【分析】先把分式的分子分解因式，再约分即可．
【解答】解：
＝
＝，
故选：B．
【点评】本题考查了分解因式，约分和分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的数，分式的值不变．
5．（3分）若am＝3，an＝5，则am+n的值是（ ）
A．B．C．8D．15
【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则解答即可．
【解答】解：因为am＝3，an＝5，
所以am•an＝3×5，
所以am+n＝15，
故选：D．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法．解题的关键是掌握同底数幂的乘法的运算法则．
6．（3分）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（ ）
A．a＝﹣2，b＝﹣3B．a＝2，b＝3C．a＝﹣2，b＝3D．a＝2，b＝﹣3
【分析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
【解答】解：根据题意得：x2+ax+b＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
则a＝﹣2，b＝﹣3，
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，以及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（3分）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝10，则点P到AB的距离是（ ）
A．15B．12C．5D．10
【分析】过P点作PF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到PF＝PE＝10，
【解答】解：过P点作PF⊥AB于F，如图，
∵AD平分∠BAC，PE⊥AC，PF⊥AB，
∴PF＝PE＝10，
即点P到AB的距离为10．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，∠C＝∠F＝90°，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠EB．AC＝DF，AB＝DE
C．∠A＝∠D，AB＝DED．AC＝DF，CB＝FE
【分析】根据全等三角形的判定定理，结合各选项的条件进行判断即可．
【解答】解：A．添加条件∠A＝∠D，∠B＝∠E时，没有边的条件，故不能判定△ABC≌△DEF，
B．添加条件AC＝DF，AB＝DE，根据HL可证明△ABC≌△DEF，
C．添加条件∠A＝∠D，AB＝DE，根据AAS可证明△ABC≌△DEF，
D．添加条件AC＝DF，CB＝FE，根据SAS可证明△ABC≌△DEF，
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．（3分）如果把中的x与y都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的5倍
C．缩小为原来的D．扩大为原来的10倍
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
＝＝，
∴如果把中的x与y都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值缩小为原来的，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
10．（3分）已知：a2﹣a﹣1＝0，代数式+a3﹣3a2+a+2021的值（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【分析】根据a2﹣a﹣1＝0，可得a2﹣a＝1，a≠0，从而得到a﹣＝1，进而得到＝3，再将代数式化简，即可求解．
【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1，a≠0，
∴a﹣＝1，
∴＝，
∴＝3，
∵
＝+2021
＝+a（a2﹣a﹣1）﹣2（a2﹣a）+2021
＝2+0﹣2×1+2021
＝2021．
故选：C．
【点评】本意考查了分式的化简求值，根据题意得到a2﹣a＝1，a≠0，a﹣＝1，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6道题，每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）若分式的值为0，则x＝ ﹣1 ．
【分析】根据分式的值等于0的条件：分子＝0且分母≠0即可求解．
【解答】解：根据题意得x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式的值是0的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，∠1＝25°，则∠C＝ 65° ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠2＝∠1＝25°，AD⊥BC，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，点D为BC边的中点，
∴∠2＝∠1＝25°，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．（3分）已知在平面直角坐标系中，点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为 ﹣1 ．
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，
∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，
解得a＝3，b＝﹣4，
∴（a+b）2021＝（3﹣4）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝ 40 °．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，
∴∠B＝＝＝80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，
∵AD＝DC，
∴∠C＝＝＝40°．
【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．
16．（3分）如果代数式m2+2m＝1，那么÷的值为 1 ．
【分析】先化简，再整体代入解答即可．
【解答】解：÷
＝
＝m2+2m，
因为m2+2m＝1，
所以÷的值为1，
故答案为：1
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9道题，共72分）
17．（6分）计算：（π﹣2021）0+|﹣3|+﹣（﹣3）2
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（π﹣2021）0+|﹣3|+﹣（﹣3）2
＝1+3﹣+5﹣9
＝﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：[（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）]÷2y，其中x＝，y＝．
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：[（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）]÷2y
＝（4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2）÷2y
＝（12xy+10y2）÷2y
＝6x+5y，
当x＝，y＝时，原式＝6×+5×
＝+
＝．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（6分）如图，已知△ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B＝33°，则∠CAD＝ 24 °．
（3）已知AB＝13，△ACD的周长为17，则△ABC的周长为 30 ．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交BC于点D，点D即为所求；
（2）分别求出∠CAB，∠DAB，可得结论；
（3）证明AC+CB＝17，可得结论．
【解答】解：（1）如图吗，点D即为所求；
（2）∵∠C＝90°，∠B＝33°，
∴∠CAB＝90°﹣33°＝57°，
∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝33°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝24°，
故答案为：24；
（3）∵△ACD的周长为17，
∴AC+CD+AD＝17，
∵DA＝DB，
∴AC+CD+DB＝AC+CB＝17，
∴△ABC的周长＝AC+CB+AB＝17+13＝30，
故答案为：30．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
20．（8分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 y轴 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 （﹣2，3） ；
（3）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）作BB2的垂直平分线得到轴对称为y轴，然后利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C2的坐标；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）这条对称轴是y轴，C点的对称点C2的坐标为（﹣2，3）；
故答案为：y轴，（﹣2，3）；
（3）△A1B1C1的面积＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×3＝2.5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
21．（8分）为选拔同学参加全市组织的青少年科学知识竞赛，重庆一中在全校进行了“请党放心，强国有我”科学知识竞赛，并对八年级（3）班全体同学本次知识竞赛成绩进行了统计，我们将成绩分为A、B、C、D、E五类，制成了如下不完整的条形统计图和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）八年级（3）班学生总人数是 50 人；在扇形统计图中，a的值是 20 ；
（2）若八年级（3）班得C等级的同学人数是得E等级的同学人数的4倍，请将条形统计图补充完整；
（3）若等级为A表示优秀，等级为B表示良好，等级为C表示合格，等级为D表示不合格，等级为E表示差，根据本次统计结果，估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有多少人？
【分析】（1）用B等级的人数除以所占的百分比求出八年级（3）班学生总人数，用D等级的人数除以总人数，即可得出a；
（2）设E等级的同学有x人，则C等级的同学人数有4x，根据总人数是50，列出方程，求出x的值，从而补全统计图；
（3）用全校的总人数乘以知识竞赛成绩在合格及以上的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）八年级（3）班学生总人数是：12÷24%＝50（人），
a%＝×100%＝20%，即a＝20；
故答案为：50，20；
（2）设E等级的同学有x人，则C等级的同学人数有4x，根据题意得：
8+12+4x+10+x＝50，
解得：x＝4，
则4x＝4×4＝16，
则E等级的同学有4人，则C等级的同学人数有16人，
补全统计图如下：
（3）2000×＝1440（人），
答：估计全校2000名学生中知识竞赛成绩在合格及以上的学生大约有1440人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（9分）某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A种原料和2吨B种原料，生产每件乙产品需要3吨A种原料和1吨B种原料．该厂现有A种原料120吨，B种原料50吨．
（1）甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？
（2）在（1）的条件下，去年每件甲产品的售价为3万元，每件乙产品的售价为5万元．根据市场调研情况，今年每件乙产品售价比去年下降10%，问每件甲产品应涨价多少万元，才能使甲、乙两种产品全部出售的总销售额达到144万元？
【分析】（1）设生产x件甲种产品，y件乙种产品，根据生产两种产品共使用A种原料120吨、B种原料50吨，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设每件甲种产品涨价m万元，由题意：去年每件甲产品的售价为3万元，每件乙产品的售价为5万元．今年每件乙产品售价比去年下降10%，使甲、乙两种产品全部出售的总销售额达到144万元，列出一元一次方程，解之即可．
【解答】解：（1）设生产甲种产品x件，乙种产品y件，恰好使两种原料全部用完，
根据题意，得：，
解得：，
答：生产甲种产品15件，乙种产品20件，恰好使两种原料全部用完．
（2）设每件甲种产品涨价m万元，才能使甲、乙两种产品全部出售的总销售额达到144万元，
根据题意，得：（3+m）×15+（1﹣10%）×5×20＝144，
解得：m＝0.6．
答：每件甲产品应涨价0.6万元，才能使甲、乙两种产品全部出售的总销售额达到144万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23．（9分）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE平分∠ADC，DE∥BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝10，求DE的长；
（2）在（1）的条件下，求证：△ADC是等腰三角形．
（3）如图2，若∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝18，求DF的长．
【分析】由条件可证△EDC是等腰三角形可求DE长，构造全等三角形可证△ADC是等腰三角形，求出△DFC是直角三角形可求DF长
【解答】（1）解∵DE平分∠ADC，CD平分∠ACB，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ACD＝∠BCD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝∠EC D，
∴DE＝EC，
∵E是AC中点，
∴DE＝EC＝AC＝5．
（2）证明：延长DE到G使EG＝DE，
∵∠AEG＝∠DEC，AE＝EC，
∴△AEG≌△CED（SAS），
∴AG＝DC，∠G＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠G＝∠ADE，
∴AD＝AG，
∴AD＝DC，
∴△ADC是等腰三角形．
（3）∵BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADE＝30°，
∴∠FDC＝90°，
∵∠DCF＝∠EDC＝30°，
∴DF＝FC，
∴DF＝BC＝×18＝6．
【点评】此题考查平行线的性质，三角形全等，等腰三角形判定的知识点
24．（10分）若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的中雅点，我们规定次数超过3次的整式没有中雅点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的中雅点为（6，1）．
（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的中雅点坐标为 （5，4） ．
（2）若整式B＝﹣9x+8，整式C是整式B与（x+3）2的乘积，求整式C的中雅点坐标．
（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次一项式，整式F是整式E的平方与整式D的乘积，若整式F的中雅点为（﹣3，﹣2），求整式E的表达式．
【分析】（1）找到A中的a，b，c，d的数值，然后求出b+d和a+b+c+d的值，从而得到A的中雅点坐标．
（2）因为整式C是整式B与（x+3）2的乘积，通过整式的乘法表示出整式C，找到C中的a，b，c，d的数值，然后求出b+d和a+b+c+d的值，从而得到C的中雅点坐标．
（3）根据整式E是只含有字母x的一次一项式，设出整式E＝mx，然后根据题意表示出整式F，然后用含有m的式子表示出b+d和a+b+c+d的值，根据整式F的中雅点坐标（﹣3，﹣2），求得m的值．
【解答】解：（1）∵A＝x3+x2﹣2x+4，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，
∴b+d＝5，a+b+c+d＝4，
则A的中雅点坐标为（5，4）．
故答案为：（5，4）．
（2）∵整式C是整式B与（x+3）2的乘积，
∴整式C＝（﹣9x+8）（x+3）2
＝（﹣9x+8）（x2+6x+9）
＝﹣9x3﹣54x2﹣81x+8x2+48x+72
＝﹣9x3﹣46x2﹣33x+72，
∴a＝﹣9，b＝﹣46，c＝﹣33，d＝72，
∴b+d＝26，a+b+c+d＝﹣16，
∴整式C的中雅点坐标为（26，﹣16）．
（3）∵整式E是只含有字母x的一次一项式，
∴设E＝mx，
∵整式F是整式E的平方与整式D的乘积，
∴整式F＝（mx）2•（x﹣3）
＝（m2x2）（x﹣3）
＝m2x3﹣3m2x2，
∴a＝m2，b＝﹣3m2，c＝0，d＝0，
∴b+d＝﹣3m2+0＝﹣3m2，
a+b+c+d＝m2﹣3m2＝﹣2m2，
∵整式F的中雅点为（﹣3，﹣2），
∴﹣3m2＝﹣3，﹣2m2＝﹣2，
m2＝1，
则m＝±1
则整式E＝﹣x或E＝x．
∴整式E的表达式为：E＝﹣x或E＝x．
【点评】本题考查因式分解、整式乘法，熟练掌握整式乘法运算法则是解题的关键．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD，CE平分∠OCD．
（1）A点的坐标为 （﹣6，0） ；∠OAB的度数为 45° ．
（2）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由．
（3）如图2，连接CD，CE平分∠OCD，若点C的坐标为（4，3），连接AC交BD于点E，AC与OD交于点F．
①求D点的坐标；
②试判断DE与CF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）将已知式子化为（a﹣b）2+＝0，可得a＝b＝﹣6，再求解即可；
（2）设AC与y轴的交点为G，BD与x轴的交点为H，证明△AOC≌△BOD（SAS），可得OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，再求∠DOC＝90°，可得OC⊥OD；
（3）①由（2）可知OC＝OD，OC⊥OD，过点D作DK⊥x轴交于K，证明△DOK≌△OCL（AAS），即可求出D（﹣3，4）；
②延长CO交BD于点M，证明△COF≌△DOM（ASA），再证明△DCE≌△MCE（ASA），即可得DE＝CF．
【解答】解：（1）∵，
∴（a﹣b）2+＝0，
∴a＝b＝﹣6，
∴A（﹣6，0），B（0，﹣6），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
故答案为：（﹣6，0），45°；
（2）设AC与y轴的交点为G，BD与x轴的交点为H，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°．
∴∠OBE+∠EGB＝90°，
∵∠OGA+∠OAG＝90°，∠OGA＝∠OGE，
∴∠OAG＝∠OBE，
∵AO＝BO，BD＝AC，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，
∴90°+∠BOC＝90°+∠DOH，
∴∠BOC＝∠DOH，
∵∠BOC+∠COH＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴OC⊥OD；
（3）①由（2）可知OC＝OD，OC⊥OD，
过点D作DK⊥x轴交于K，
∵∠DOK+∠COL＝90°，∠DOK+∠KDO＝90°，
∴∠KDO＝∠COL，
∵OC＝OD，
∴△DOK≌△OCL（AAS），
∴DK＝OL，OK＝CL，
∵点C的坐标为（4，3），
∴OK＝CL＝3，DK＝OL＝4，
∴D（﹣3，4）；
②延长CO交BD于点M，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠BDO＝∠ACO，
∵∠DOM＝∠COD＝90°，CO＝DO，
∴△COF≌△DOM（ASA），
∴CF＝DM，∠MDO＝∠FOC，
∵CE平分∠OCD，
∴∠DCA＝∠OCA，
∵CE＝CE，∠DEC＝∠MEC＝90°，
∴△DCE≌△MCE（ASA），
∴DE＝ME＝DM，
∴DE＝CF．
【点评】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，二次根式有意义的条件，数形结合是解题的关键．
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