2021-2022学年湖南省长沙市长郡芙蓉中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市长郡芙蓉中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市长郡芙蓉中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是(    )A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，下列四个图象中，能表示是的函数的是(    )A.  B.
C.  D. 已知直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为(    )A.  B.  C.  D. 或下列说法正确的是(    )A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 矩形的邻边相等
C. 正方形的对角线互相垂直平分 D. 菱形的对角线相等对于直线的描述正确的是(    )A. 随的增大而增大 B. 与轴的交点是
C. 经过点 D. 图象不经过第二象限如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，那么平行线，之间的距离为(    )A.
B.
C.
D. 不能确定若函数是正比例函数，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 如图，在四边形中，，点、、、分别是、、、的中点，则四边形是(    )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边，则图中阴影部分的面积为(    )A.
B.
C.
D. 一个装有进水管和出水管的容器，开始的分钟内只进水不出水，在随后的分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量单位：升与时间单位：分之间的关系如图，则分钟时容器内的水量单位：升为(    )
A.  B.  C.  D. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线分别与，，相交于点，，下列结论正确的个数有(    )
四边形为菱形；
≌；
当为中点时，．A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，共18分）函数中，自变量的取值范围是______．如图，在中，点、分别是、边的中点，若，则线段______．
 如图，直线经过点和点，直线经过点，则不等式的解为______．
 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标是，则点的坐标是______．
 如图，一架梯子长米，底端离墙的距离为米，当梯子下滑到时，米，则______米．
 如图，在中，，平分交于点，垂直平分，垂足为点，若，则的长为______．
  三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
已知一次函数的图象经过、两点．
求这个函数的解析式；
判断点是否在该函数图象上．本小题分
如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．
求证：是直角三角形；
求四边形的面积．
本小题分
如图，在四边形中，，对角线、交于点，且，过点作，交于点，交于点．
求证：四边形为平行四边形；
连接，若，，求的度数．
本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．
求证：四边形为矩形；
若菱形的边长为，，求的长．
本小题分
如图，一次函数的图象过、两点，与轴交于点．
求此一次函数的解析式；
求的面积；
已知：点在轴上，且使的值最小，请直接写出点的坐标______，及的最小值是______．
本小题分
如图所示，在、两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．图是客车、货车离站的路程，千米与行驶时间小时之间的函数关系图象．

填空：，两地相距______千米；货车的速度是______千米时；
求三小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数表达式；
试求客车与货两车何时相距千米？本小题分
定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形．
如图，准矩形中，，若，，则 ______ ；
如图，正方形中，点，分别是边，上的点，且，求证：四边形是准矩形；
如图，准矩形中，，，，，求这个准矩形的面积．
 
本小题分
直线与轴交于点，与轴交于点，菱形如图放置在平面直角坐标系中，其中点在轴负半轴上，直线经过点，交轴于点．
请直接写出点，点的坐标，并求出的值；
点是线段上的一个动点点不与、重合，经过点且平行于轴的直线交于，交于当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
点是轴正半轴上的一个动点，是平面内任意一点，为何值时，以点、、、为顶点的四边形是菱形？

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：如图所示，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
根据平行四边形的判定定理可知：只有符合条件．
故选：．
平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可．
此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
 2.【答案】 【解析】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：．
分别计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：根据函数的定义，
选项A符合函数的概念，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，
故A符合题意；
而、、都不符合“对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应”，
故B、、都不符合题意；
故选：．
根据函数的定义，在一个变化过程中，如果有两个变量、，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，我们就说是自变量，是的函数，判断即可．
本题考查函数的概念，熟练掌握函数的定义是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：是直角边时，第三边，
是斜边时，第三边，
所以，第三边长为或．
故选：．
分是直角边和斜边两种情况讨论求解．
本题考查了勾股定理，是基础题，难点在于要分情况讨论．
 5.【答案】 【解析】解：平行四边形的对角线平分，菱形的对角线垂直，选项不符合题意；
B.菱形的邻边相等，选项不符合题意；
C.正方形的对角线垂直，平分且相等，选项符合题意；
D.矩形的对角线相等，选项不符合题意，
故选：．
利用平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质即可进行判断．
本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，关键是熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质做题．
 6.【答案】 【解析】解：，
随的增大而减小，选项A不符合题意；
B.当时，，
直线与轴的交点是，选项B符合题意；
C.当时，，
直线经过点，选项C不符合题意；
D.，，
直线经过第二、三、四象限，选项D不符合题意．
故选：．
A.由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小；利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线与轴的交点是；利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线经过点；由，，利用一次函数图象与系数的关系可得出直线经过第二、三、四象限．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
是直角三角形，
，，
，
平行线、之间的距离是：．
故选：．
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，并由勾股定理可得出答案．
本题考查了平行线之间的距离，以及勾股定理，关键是掌握平行线之间距离的定义，以及勾股定理的运用．
 8.【答案】 【解析】解：函数是正比例函数，
且，
解得：，
故选：．
根据正比例函数的定义得出且，再求出即可．
本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如、为常数，的函数，叫一次函数，当时，函数叫正比例函数．
 9.【答案】 【解析】解：在四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
，
同理：，
四边形是平行四边形，
、、、分别是、、、的中点，
，，
，
，
平行四边形是菱形；
故选：．
由题意得，，推出，同理得出，即可得出四边形是平行四边形，由中位线的性质得出，，证得，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解决问题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：根据题意知：．
图中阴影部分的面积


．
故选：．
利用勾股定理和圆的面积公式解答．
本题主要是考查勾股定理的应用，比较简单，解题的关键是将图中阴影部分的面积转化为的形式．
 11.【答案】 【解析】解：当时，设与的函数关系式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即当时，与的函数关系式为，
当时，，
故选：．
根据函数图象中的数据，可以计算出当时，与的函数关系式，然后将代入求出相应值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
 12.【答案】 【解析】解：四边形为平行四边形，
，，，，，
，
垂直平分，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形为平行四边形，
垂直平分，
平行四边形是菱形，正确；
，
，即，
在和中，
，
≌，正确；
四边形是菱形，
，
为的中点，
，
，
，
，
，正确；
因此正确的个数有个，
故选：．
由平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质分别对各个结论进行判断即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于常考题型．
 13.【答案】且 【解析】解：由题意得：，，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：点，点分别是，边的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：直线与直线相交于点，
观察图象得：当时，，
不等式的解集为．
故答案为：．
由图象得到直线与直线的交点的坐标，观察直线落在直线下方的部分对应的的取值即为所求．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 16.【答案】 【解析】解：如图，作轴于点，轴于点，则，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
点在第二象限，
，
故答案为：．
作轴于点，轴于点，先证明≌，因为，所以，，再根据点在第二象限求出点的坐标．
此题考查正方形的性质、全等三角形的判定、图形与坐标等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：在中，根据勾股定理，可得：米，
米，
在中，米，
米，
故答案为：．
在中，根据勾股定理得出，进而得出，利用勾股定理得出，进而解答即可．
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：，平分交于点，垂直平分，
，，．
在和中，
，
≌．
．
．
在中，，
．
在中，
，，
．
．
故答案为：．
先利用角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等说明线段与、与、与的关系，再在中说明的度数，最后利用特殊角在中求出．
本题主要考查了角平分线、线段的垂直平分线及含角的直角三角形的性质等知识点．掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”“等腰三角形的三线合一”及“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”等知识点是解决本题的关键．
 19.【答案】解：设所求的一次函数的解析式为．
将点、代入，
得，
解得，
所求的解析式为．
点在这个一次函数的图象上．
当时，，
点在直线上． 【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
先设出一次函数的解析式，把已知条件代入求得未知数的值即可；
把点代入解析式看解析式是否成立．
 20.【答案】证明：，，，
，
，，
，
是直角三角形；
解：，，
． 【解析】根据勾股定理得出，进而利用勾股定理的逆定理解答即可；
根据三角形的面积公式解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出，进而利用勾股定理的逆定理解答．
 21.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形；
解：设，则，
由得：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
即． 【解析】证≌，得，再由，即可得出结论；
先根据线段垂直平分线的性质得，则，再证，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 22.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
由得：四边形为矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
故AE的长为：． 【解析】先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
先证是等边三角形，得，再由勾股定理得，则，然后由矩形的性质得，，最后由勾股定理即可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形性质，证明四边形为矩形是解题的关键．
 23.【答案】  【解析】解：根据题意得，
解得，
此一次函数的解析式为；
当时，，解得，则，
；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图，
，
，
此时的值最小，最小值为，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，
点的坐标为．
故答案为：；；
利用待定系数法求直线的解析式；
先利用一次函数解析式确定点坐标，然后根据三角形面积公式，利用进行计算；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图，利用关于轴对称的点的坐标特征得到，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，最小值为，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，然后计算自变量为对应的函数值得到点的坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，需要两组，的值．也考查了一次函数的性质和最短路径问题．
 24.【答案】；；
；

分两种情况：
相遇前：
解之得；
相遇后：
解之得；
综上所述：当行驶时间为小时或小时，两车相距千米． 【解析】解：由函数图象可得，，两地相距：，
货车的速度是：．
故答案为：；；
见答案；
见答案．
根据图象中的数据即可得到，两地的距离；根据货车小时到达站，求得货车的速度；
根据函数图象中的数据即可得到三小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式；
根据题意可以分相遇前和相遇后两种情况进行解答．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
 25.【答案】 【解析】解：，，，
，
四边形是准矩形，
．
故答案为：；
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，
四边形是准矩形；
作，垂足为，

准矩形中，，，
，
，
，

，
，
．
利用勾股定理计算，再根据准矩形的特点求出即可；
先利用正方形的性质判断出≌，即可得证；
作，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了新定义，勾股定理，梯形面积公式，三角形面积公式，正确运用准矩形的定义是解本题的关键．
 26.【答案】解：与轴交于点，与轴交于点，
当时，，
当时，，
，，
由勾股定理得，，
四边形是菱形，
，
，
，，
将代入得，，
；
，
，
，
点，
设，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
解得，
；
点、、、为顶点的四边形是菱形，
是等腰三角形，
当时，，
，
，
当时，则点与重合，
；
当时，则，
解得，
综上：或或时，以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【解析】首先求出点、的坐标，再利用勾股定理求出的长，再根据菱形的性质可得答案；
表示出设，，得，根据，可得答案；
若点、、、为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分或或三种情形，分别求出的值．
本题是一次函数综合题，主要考查了直线上点的坐标的特征，平行四边形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键．