2021-2022学年湖南省长沙市长郡雨外教育集团八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

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2021-2022学年湖南省长沙市长郡雨外教育集团八年级（下）第一次月考数学试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是A. ， B. ，
C. ， D. ，如图，平行四边形中，、分别平分、，交于、，、交于，平分，交于，交于，则下列说法错误的是
A.  B.  C.  D. 如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点若，，则的长为   A.
B.
C.
D. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，点是上一点，连接，若，则的长是A.
B.
C.
D. 如图，两个连接在一起的菱形的边长都是，一只电子甲虫从点开始按的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行时停下，则它停的位置是
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为A.
B.
C.
D. 如图，点在的边上，将沿翻折后，点恰好与点重合，若，，则的长为A.
B.
C.
D. 如图，在中，，，点在上，，，则的长为A.
B.
C.
D. 如图，由两个等腰直角三角形拼成的四边形，已知，则四边形的面积为A.
B.
C.
D. 已知中，，，边上的高为则的面积为A. 或 B.  C. 或 D. 如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长为A.
B.
C.
D. 如图，在中，，，按以下步骤作图：
分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点点在的上方；
作直线交于点，交于点；
用圆规在射线上截取连接，，，过点作重足为，交于点．
下列结论：
；
；
；
若，，则四边形的周长为．
其中正确的结论有A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）如图所示，在平行四边形中，、分别为、边上的一点，若添加一个条件______，则四边形为平行四边形只填一个条件即可．如图，为边上的一点，，，，，则______．
如图，菱形的对角线的长度分别为、，是对角线上的一点，交于，交于，则图中阴影部分的面积是______．已知等腰三角形的底角是，腰长为，则它的周长是______．如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，点分别是，中点，若，则的长为______．
如图：在中，平分，平分，且交于，若，则______．
    三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）如图：在四边形中，，，，，，求四边形的面积．







 如图，在矩形中，是的中点，连接、．
求证：≌；
若，，求的周长．
  






 已知，如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，如，求的长．
  






 如图，四边形是菱形，对角线，，于点，求的长．


  






 如图所示，正方形的对角线相交于点，点、在、上，且连接、延长交于点求证：且．

  






 阅读下列材料：
问题：如图，在中，点为的中点．
求证：．
小明提供了他研究这个问题的思路：从点为的中点出发，可以构造以，为邻边的平行四边形，结合平行四边形的性质以及三角形两边之和大于第三边的性质便可解决这个问题．
请结合小明研究问题的思路，解决下列问题：
完成上面问题的解答；
如果在图中，，延长到，使得，延长到，使得，连接、，如图，请猜想线段与线段之间的数量关系．并加以证明．







 数学理解：如图，是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交，于点，，求，，之间的数量关系；
问题解决：如图，在任意直角内，找一点，过点作正方形，分别交，于点，，若，求的度数；
联系拓广：如图，在的条件下，分别延长，，交于点，，求，，的数量关系．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、，，
四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、根据，可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形是平行四边形，错误，故本选项正确；
D、，，
四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选：．

根据平行四边形的判定有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断即可．
本题考查了平行四边形的判定的应用．
 2.【答案】
 【解析】解：四边形是平行四边形，
，
、分别平分、，
，，
，
，
，
同理可得：，故B正确；
，故A正确；
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
同理可得：，
，故C正确；
故选：．
根据平行四边形的性质和平行线的判定解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行且相等解答．
 3.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．
由基本作图得到，加上平分，则根据等腰三角形的性质得到，，再根据平行四边形的性质得，所以，于是得到，根据等腰三角形的判定得，然后再根据等腰三角形的性质得到，最后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【解答】
解：连接，与交于点，如图，

，平分，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
平分，则，
，
，
而，
，
在中，，
．
故选：．  4.【答案】
 【解析】解：菱形的对角线、相交于点，
，，，
由勾股定理得，，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
是的中位线，
，
故选：．
根据菱形的对角线互相垂直平分求出，，，再利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．
 5.【答案】
 【解析】解：两个菱形的边长都为，
从开始移动后回到点，
，
移动为第个循环组的第，在点处．
故选：．
观察图形不难发现，每移动为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定最后停的位置所在的点即可．
本题是对图形变化规律的考查，观察图形得到每移动为一个循环组依次循环是解题的关键．
 6.【答案】
 【解析】解：四边形是正方形，
，
，
正方形的面积．
故选：．
先根据正方形的性质得出，然后在中，利用勾股定理得出，即可得出正方形的面积．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么也考查了正方形的性质．
 7.【答案】
 【解析】解：将沿翻折后，点恰好与点重合，
≌，
，
在中，
．
故选：．
由翻折的性质可得：≌，得出，进一步在中利用勾股定理求得的长即可．
本题考查了翻折的性质：翻折是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；以及勾股定理的运用．
 8.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时涉及三角形外角的性质．
根据，判断出，根据勾股定理求出的长，从而求出的长．
【解答】
解：，，
，
，
在中，
，
．
故选：．  9.【答案】
 【解析】解：与是等腰直角三角形，，
，
，
．
故选：．
由与是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质求解即可求得，与，的长，由即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 10.【答案】
 【解析】解：，，边上的高，
在中，
，
在中，
，
，，
的面积，或；
故选：．
在和中分别进行计算，求出和，再根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．
 11.【答案】
 【解析】解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长．
故选：．

利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
 12.【答案】
 【解析】解：根据作图过程可知：
，，，
四边形是菱形，
，，
，
又，
，，
．
正确；
四边形是菱形，
，
在中，根据勾股定理，得
，
．
正确；
点是的中点，
，
，
；
正确；
，
又，
，
在中，根据勾股定理，得
，
解得，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
，
解得，
菱形的周长为．
正确．
综上所述：．
故选：．
根据作图过程可得，四边形是菱形，再根据三角形中位线定理即可判断；
根据菱形的四个边都相等，再根据勾股定理即可判断；
根据三角形一边的中线分两个三角形面积相等即可判断；
根据勾股定理先求出的长，再求出的长，进而可以得四边形的周长为，进而即可判断．
本题考查了作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 13.【答案】答案不唯一
 【解析】解：四边形要为平行四边形
，
又
≌


四边形为平行四边形．
可添加的条件是，同理还可添加．
故答案为：或．
四边形要为平行四边形，则要证，就要证≌，而在平行四边形中已有，，因而可添加或就可用或得证．
本题考查了平行四边形的判定与性质，是开放题，答案不唯一，可以针对各种平行四边形的判定方法，给出条件，本题可通过要证，且，即可证明平行四边形成立，于是构造条件证≌即可．
 14.【答案】
 【解析】解：在中，，
为直角三角形，其中，
则是直角三角形，
，
，
则，
故答案为：．
在中，根据勾股定理逆定理判断出，在中利用勾股定理求得，再利用面积公式求解可得．
本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
 15.【答案】
 【解析】解：由题意易得是平行四边形，则阴影部分的面积等于的面积，而的面积等于菱形面积的一半，即．
故答案为．
根据菱形的性质得是平行四边形，从而可得到阴影部分的面积等于的面积，显然的面积等于菱形面积的一半，菱形的面积可求得，则阴影部分的面积就不难求得了．
此题主要考查平行四边形的判定和菱形的面积公式，以及学生的读图能力．
 16.【答案】
 【解析】解：作于，
则，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得，，
，
的周长为：，
故答案为：．
作于，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 17.【答案】
 【解析】解：点，点分别是，中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 18.【答案】
 【解析】解：平分，平分，
，，即，
又，平分，平分，
，，
，，
由勾股定理可知．
故答案为．
根据角平分线的定义推出为直角三角形，然后根据勾股定理求得．
本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用．
 19.【答案】解：，
为直角三角形，
又，，
根据勾股定理得：，
又，，
，，
，
为直角三角形，，
则．
故四边形的面积是．
 【解析】在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，根据四边形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，即可求出四边形的面积．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
 20.【答案】证明：在矩形中，，．
是的中点，
．
在与中，
，
≌；
由知：≌，则．
在直角中，，，
由勾股定理知，，
的周长．
 【解析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
由全等三角形的判定定理证得结论；
由中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段的长度，结合三角形的周长公式解答．
 21.【答案】解：四边形为矩形，
；；
由题意得：，，；
由勾股定理得：，
，；
在中，由勾股定理得：，
解得：，
．
 【解析】首先根据勾股定理求出的长，借助翻转变换的性质及勾股定理求出的长即可解决问题．
该题主要考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答．
 22.【答案】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
．
 【解析】先由勾股定理求出，再根据菱形面积的计算方法即可求出结果．
本题考查了菱形的性质、面积的计算方法以及勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质和面积的计算方法进行计算是解决问题的关键．
 23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，．
，
，

 【解析】根据正方形的性质证明≌，进而可以解决问题．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
 24.【答案】解：如图，延长至，使得，连接，，

，，
四边形是平行四边形，
．
在中，，
，即 ；
，理由如下：
如图，过点作交于，连结，，

，，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
四边形 是平行四边形，
点是的中点，
，互相平分于点，
即，
在和中，
，
≌，
．
 【解析】先证四边形是平行四边形，可得，由三角形的三边关系可求解；
过点作交于，连结，，先证四边形 是平行四边形，可得，由“”可证≌，可得结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
 25.【答案】解：数学理解：

理由如下：是等腰直角三角形
，，
四边形是正方形
，




问题解决：
如图，延长，使，连接，

四边形是正方形
，
，，
≌

，，，
，且，
≌

同理可得：
，



联系拓广：
四边形是正方形
，
，，
，
，
，
在中，，
，
 【解析】数学理解：
由等腰直角三角形的性质可得，，，由正方形的性质可得，，可求，即可得；
问题解决：
延长，使，通过证明≌，可得，通过≌，可得，，由三角形内角和定理可求的度数；
联系拓广：
由正方形的性质可得，，由平行线的性质可得，，可得，，即可求，，的数量关系．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．