2021学年8.5 空间直线、平面的平行练习

这是一份2021学年8.5 空间直线、平面的平行练习，共19页。试卷主要包含了则四边形EFGH的形状是等内容，欢迎下载使用。

知识点一 基本事实4(平行定理)
(1)文字语言：eq \(□,\s\up3(01))平行于同一条直线的两条直线平行．
(2)符号语言：a∥b，b∥c⇒eq \(□,\s\up3(02))a∥c.
知识点二 等角定理
(1)文字语言：eq \(□,\s\up3(01))如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
(2)符号语言：对于∠ABC和∠A′B′C′，AB∥A′B′，BC∥B′C′⇒∠ABC＝∠A′B′C′或∠ABC＋∠A′B′C′＝180°.
1．求证两条直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分利用好平面几何知识；二是证明在同一平面内，这两条直线无公共点．
2．等角定理是立体几何的基本定理之一．对于空间两个不相同的角，如果它们的两组对应边分别平行，则这两个角相等或互补．当角的两组对应边同时同向或同时反向时，两角相等；当两组对应边一组同向一组反向时，两角互补．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于空间的三条直线a，b，c，如果a∥b，a与c不平行，那么b与c不平行．( )
(2)如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等．( )
(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．( )
(4)对于空间直线a，b，c，d，如果a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．做一做
(1)已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
(2)如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°.求证：GH∥MN.
答案 (1)B
(2)证明：如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，则M，N分别在BQ，CQ上．
因为M，N分别为△PAB，△PAC的重心，
所以eq \f(QM,MB)＝eq \f(QN,CN)＝eq \f(1,2)，则MN∥BC.
又G，H分别为PB，PC的中点，
所以GH∥BC，
所以GH∥MN.
题型 基本事实4及等角定理的应用
例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)∠BMC＝∠B1M1C1.
[证明] (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，
∴四边形AMM1A1是平行四边形，
∴A1A綊M1M.
又A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，
∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
证明两条直线平行及角相等的方法
(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；②利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
(2)由基本事实4可以想到，平面几何中的有些结论推广到空间仍然是成立的，但有些平面几何的结论推广到空间是错误的．因此，要把平面几何中的结论推广到空间，必须先经过证明．
(3)空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.
证明 如图，取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形.
∴CM∥BK.又A1K∥BQ且A1K＝BQ，
∴四边形A1KBQ为平行四边形．
∴A1Q∥BK，由基本事实4有A1Q∥CM.
同理可证A1P∥CN，由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反．
∴∠PA1Q＝∠MCN.
1．已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α＝80°，则β＝( )
A．80° B．100°
C．80°或100° D．不能确定
答案 C
解析 由等角定理可知，α＝β或α＋β＝180°，∴β＝100°或β＝80°.
2．已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(2,3).则四边形EFGH的形状是( )
A．空间四边形 B．平行四边形 C．矩形 D．梯形
答案 D
解析 在△ABD中可得EH∥BD, EH＝eq \f(1,2)BD，在△CBD中可得FG∥BD，FG＝eq \f(2,3)BD，
所以EH，FG平行且不相等，所以四边形EFGH是梯形．
3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
答案 D
解析 在如图所示的正六面体中，不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1，则直线l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1，这三组直线垂直、平行、异面，故选D.
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．相交且垂直
C．异面 D．平行
答案 D
解析 连接D1E并延长，与AD交于点M，则△MDE∽△D1A1E，因为A1E＝2ED，
所以M为AD的中点．连接BF并延长，交AD于点N，
同理可得，N为AD的中点．
所以M，N重合，又eq \f(ME,ED1)＝eq \f(1,2)，eq \f(MF,BF)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(ME,ED1)＝eq \f(MF,BF)，所以EF∥BD1.
5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，与棱AA1平行的棱共有几条？分别是什么？
解 与AA1平行的棱共有两条，分别是BB1，CC1.
8.5.2 直线与平面平行
知识点一 直线与平面平行的判定定理
1．文字语言：eq \(□,\s\up3(01))如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
2．符号语言：aeq \(□,\s\up3(02))⊄α，beq \(□,\s\up3(03))⊂α，且eq \(□,\s\up3(04))a∥b⇒a∥α.
3．图形语言：如图所示．
4．作用：证明eq \(□,\s\up3(05))直线与平面平行．
知识点二 直线与平面平行的性质定理
1．定理：一条直线与一个平面平行，如果eq \(□,\s\up3(01))过该直线的平面与此平面相交，那么eq \(□,\s\up3(02))该直线与交线平行．
2．符号表示：若eq \(□,\s\up3(03))a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则eq \(□,\s\up3(04))a∥b.
3．作用：eq \(□,\s\up3(05))证明或判断线线平行．
1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．
2．直线与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可
①直线a和平面α平行，即a∥α.
②平面α和平面β相交于直线b，即α∩β＝b.
③直线a在平面β内，即a⊂β.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )
(2)如果一条直线与一个平面平行于同一条直线，则这条直线和这个平面平行．( )
(3)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线平行．( )
(4)若直线a∥平面α，则平面α内有唯一一条直线与直线a平行．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．做一做
(1)下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
(2)梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
(3)已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．
(4)如图，空间四边形ABCD中，若M，N，P分别是AB，BC，CD的中点，则与MN平行的平面是________，与NP平行的平面是________．
答案 (1)C (2)B (3)l⊄α (4)平面ACD 平面ABD
题型一 直线与平面平行的理解
例1 能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．b⊂α，a∥b
B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD
D．a⊄α，b⊂α，a∥b
[解析] A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；D正确，恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件．故选D.
[答案] D
平行问题的实质
(1)平行问题是以无公共点为主要特征的，直线和平面平行即直线与平面没有任何公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决．
(2)正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法．
给出下列几个说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中正确说法的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误．
对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误．
对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴③说法正确．故选B.


题型二 直线与平面平行的判定
例2 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．
求证：PD∥平面MAC.
[证明] 如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，
则MO为△BDP的中位线，
∴PD∥MO.
∵PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，
∴PD∥平面MAC.
证明线面平行的方法、步骤
(1)利用判定定理判断或证明直线与平面平行的关键是在已知平面α内找一条直线b和已知直线a平行．即要证直线a与平面α平行，先证直线a与直线b平行．即由立体向平面转化．
(2)证明线面平行的一般步骤：①在平面内找一条直线；②证明线线平行；③由判定定理得出结论．
(3)在与中点有关的平行问题中，常考虑中位线定理．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线A1B，B1C的中点．求证：EF∥平面ABCD.
证明 如图，分别取AB，BC的中点G，H，连接EG，FH，GH.
则由三角形中位线性质知：
EG∥FH，且EG＝FH，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∴EF∥GH.
∵EF⊄平面ABCD，而GH⊂平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
题型三 直线与平面平行性质定理的应用
例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.
[证明] 因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.
又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.
利用线面平行的性质定理解题的步骤
如图所示，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明 如图，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，
∴AP∥GH.
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
答案 B
解析 由线面平行的判定定理可知，B正确．
2．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是( )
答案 C
解析 在图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP；在图C中，AB与平面MNP相交，故选C.
3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线分别为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．平行或都相交于同一点
答案 D
解析 因为l⊄α，所以l∥α或l∩α＝A.若l∥α，则由线面平行的性质定理可知，l∥a，l∥b，l∥c，…，所以由基本事实4可知，a∥b∥c….若l∩α＝A，则A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c∩…＝A，故选D.
4．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
答案 eq \f(20,9)
解析 ∵a∥α，平面ABD∩α＝EG，
∴EG∥a.∴eq \f(AF,AC)＝eq \f(EG,BD)，∴eq \f(5,4＋5)＝eq \f(EG,4)，即EG＝eq \f(20,9).
5．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.
证明 如图，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.
∵M，N分别是△ABD和△BCD的重心，
∴BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1，
∴MN∥PQ.
又MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，
∴MN∥平面ADC.
6．如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
证明 ∵AB∥平面MNPQ，过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.
又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，
∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.
同理可证NP∥MQ.
∴四边形MNPQ为平行四边形.
8.5.3 平面与平面平行
知识点一 平面与平面平行的判定定理
1．文字语言：如果eq \(□,\s\up3(01))一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
2．符号语言：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\(□,\s\up3(02))a⊂β,\(□,\s\up3(03))\a\vs4\al(b⊂β),\(□,\s\up3(04))a∩b＝P,\(□,\s\up3(05))a∥α,\(□,\s\up3(06))b∥α))⇒α∥β.
3．图形语言：如图所示．
4．作用：证明两个平面eq \(□,\s\up3(07))平行．
知识点二 平面与平面平行的性质定理
1．定理：两个平面平行，如果eq \(□,\s\up3(01))另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线eq \(□,\s\up3(02))平行．
2．符号表示：若eq \(□,\s\up3(03))α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则eq \(□,\s\up3(04))a∥b.
3．作用：eq \(□,\s\up3(05))证明或判断线线平行．
1．证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
2．平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可
(1)两个平面平行，即α∥β.
(2)第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a.
(3)第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b.
3．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行．( )
(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．( )
(3)若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β.( )
答案 (1)× (2)× (3)×
2．做一做
(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是 ( )
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上判断都不对
(2)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________．
(3)设a，b是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：
①若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；
②若α∥β，a∥α，a⊄β，则a∥β；
③若α∥β，A∈α，过点A作直线l∥β，则l⊂α；
④平行于同一个平面的两个平面平行．
其中所有正确结论的序号是________．
(4)平面α∥平面β，直线l∥α，则直线l与平面β的位置关系是________．
答案 (1)C (2)相交或平行 (3)②③④ (4)l∥β或l⊂β
题型一 平面与平面平行判定定理的理解
例1 下列命题中正确的是( )
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．
A．①③ B．②④ C．②③④ D．③④
[解析] 对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在，故①错误；
对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，此时两平面不一定平行．如果这无数条直线都与两平面的交线平行时，两平面可以相交，故②错误；
对于③：一个平面内任何一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义，故③正确；
对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理，故④正确．
故选D.
[答案] D
应用平面与平面平行判定定理的注意事项
(1)平面与平面平行判定定理把判定面面平行转化为判定线面平行，同时应注意是两条相交直线都平行于另一平面．
(2)解决此类问题，若认为命题正确，必须用相关定理严格证明；而要否定它，只需要举出一个反例，此时借用常见几何模型是非常有效的方法．
设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的有( )
①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；
②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；
③l∥α，m∥β，且l∥m；
④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β.
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
答案 A
解析 ①错误，因为l，m不一定相交；②错误，一个平面内有两条直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；由面面平行的判定定理可知，④正确.
题型二 平面与平面平行的判定
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．
求证：(1)E，F，B，D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
[证明] (1)如图，连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，
∴MN∥BD.
又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.
连接MF，∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，
∴MF∥AD，MF＝AD，
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE.
∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.
线线平行、线面平行与面面平行的转化
(1)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．此即为面面平行判定定理的推论产生的依据．
(2)在转化为线面平行证面面平行时，首先观察面内已有的直线是否平行，若不平行，再利用条件有针对性地构造平面找出平行直线．
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.
因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.
因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
题型三 平面与平面平行性质定理的应用
例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
[解] 如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，
由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，
由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.
因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点．
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α.
证明 若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线分别为BD，AC.
∵α∥β，∴AC∥BD.
∵M，N分别为AB，CD的中点，∴MN∥BD.
又BD⊂α，MN⊄α，∴MN∥α.
若AB，CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED.
∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC，
且与α，β的交线分别为ED，AC.
∵α∥β，∴ED∥AC.
又P，N分别为AE，CD的中点，
∴PN∥ED，∴PN∥α，
同理可证MP∥BE，∴MP∥α，∴平面MPN∥α，
又MN⊂平面MPN，∴MN∥α.
题型四 直线、平面平行的综合应用
例4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
[解] (1)证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
AD綊B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.
又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.
所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1⊂平面AB1D1，
所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC交BD于点O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；
同理可证OF∥AE，又因为O为AC的中点，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.
三种平行关系的相互转化
线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行相互转化．相互间的转化关系如图．
因此判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向．“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据．充分理解并掌握三者之间转化的判定及性质定理，并进一步理解转化的数学思想，是解决“平行关系”问题的关键所在．
如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若eq \f(PA′,A′A)＝eq \f(2,3)，求eq \f(S△A′B′C′,S△ABC)的值．
解 ∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，
平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC.
∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC，∠A′C′B′＝∠ACB.
∴△A′B′C′∽△ABC.
又PA′∶A′A＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5.
∴A′B′∶AB＝2∶5.
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
1．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )
A．m∥l，l∥α⇒m∥α
B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β
C．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β
D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β
答案 D
解析 A中，m可能在α内，也可能与α平行；B中，α与β可能相交，也可能平行；C中，α与β可能相交，也可能平行；D中，l∩m＝M，且l，m分别与平面β平行，依据面面平行的判定定理可知α∥β.故选D.
2．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A，B如何移动，都共面
答案 D
解析 如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB的中点变成A′B′的中点C′，连接A′B，取A′B的中点E.连接CE，C′E，AA′，BB′，CC′.则CE∥AA′，
∴CE∥α.∵C′E∥BB′，∴C′E∥β.又α∥β，∴C′E∥α.
∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.
∴CC′∥α.所以不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α，β平行的平面上．
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1，CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状不可能是( )
A．矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．正方形
答案 D
解析 若点E与点A1重合，则点F与点C重合，此时四边形D1EBF是矩形；若点E在AA1的中点处，则点F也在CC1的中点处，此时四边形D1EBF是菱形但不是正方形；其他情况下为普通的平行四边形．故选D.
4．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；
⑤EF∥平面BDG.
其中正确的结论是________．
答案 ①②③④
解析 还原几何体可知该几何体是一个如图所示的正四棱锥P－ABCD，逐一考查所给的命题：
①易知EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，且EF∩FG＝F，
则平面EFGH∥平面ABCD，①正确．
②设AC，BD的交点为点O，连接OG，由三角形中位线的性质可知OG∥PA，结合线面平行的判定定理可得PA∥平面BDG，②正确．
③由三角形中位线的性质可知EF∥DA，又DA∥BC，故EF∥BC，∴EF∥平面PBC，③正确．
④由三角形中位线的性质可知，FH∥BD，结合线面平行的判定定理可知，FH∥平面BDG，④正确．
⑤由③可知EF∥BC，由于直线BC与平面BDG相交，故EF∥平面BDG不成立，⑤错误．
5．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.
证明 如图所示，取BB1的中点G，连接EG，C1G，则有EG綊A1B1.
又A1B1綊C1D1，∴EG綊C1D1.
∴四边形EGC1D1为平行四边形．
∴D1E綊GC1.
又BG綊C1F，∴四边形BGC1F为平行四边形．
∴BF∥GC1.∴BF∥ED1.
∵BF⊄平面B1D1E，D1E⊂平面B1D1E，
∴BF∥平面B1D1E.
又BD∥B1D1，BD⊄平面B1D1E，B1D1⊂平面B1D1E，
∴BD∥平面B1D1E.
又BD∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1E.