专题18 相似三角形-备战2022年中考数学母题题源解密（广东专用）（原卷版）

专题18 相似三角形

【母题来源】2021年中考广东广州卷

【母题题文1】（2021·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使，且CF、DE相交于点G

（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；

（2）当时，求AE的长；

（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．

【母题来源】2021年中考广东卷

【母题题文2】（2021·广东·中考真题）如图，边长为1的正方形中，点E为的中点．连接，将沿折叠得到交于点G，求的长．

【母题来源】2021年中考广东深圳卷

【母题题文3】（2021·广东深圳·中考真题）在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值．

（1）①__________；

②__________；

③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．

（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）求：

①__________（用k的代数式表示）

②__________（用k、的代数式表示）

考点一：相似图形中的比例问题

主要利用相似三角形的性质定理，相似三角形的对应线段比值等于相似比，周长比值对应相似比，面积比值对应相似比的平方。在求解三角形边长的过程中，通过相似求解对应高和底的比值即可解决相关三角形对应线段，对应周长，对应面积的比值求解问题。　

主要知识点概括：

(一).比例

1.第四比例项、比例中项、比例线段；

2.比例性质：

（1）基本性质： 

（2）合比定理：

（3）等比定理：

3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．

4．平行线分线段成比例定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

(二)相似

1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.

2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.

3.相似三角形的判定

（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4. 相似三角形的性质

（1）对应边的比相等，对应角相等.

（2）相似三角形的周长比等于相似比.

（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.

（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.

5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.

三角形中位线性质:  三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6相似三角形的应用:

1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；

2、利用三角形相似，求线段的长等

3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。

7.位似

定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形 叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比•因此，位似图形一定是相似图形，但 相似图形不一定是位似图形.

性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

注意：(1)位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

(2)两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上

考点二：主要考查其他几何性质在相似三角形的中的综合应用，以及如何做好辅助线，构造相似或者相似三角形所需要的条件。

1、角平分线的性质，三角函数，相似三角形的性质；

2、直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质；

3、相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识；

4、正确作出辅助线，构造相似或者相似三角形所需要的条件。

考点三:相似三角形与圆的结合

圆周角定理，或者圆的切线性质，

垂径定理，从而转化到等腰三角形，利用等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形；

以此与圆相交的直线构成三角形，通过角度相等来获得相似三角形，再由相似三角形对应边比值来求得线段长度。

加常用辅助线，构造平行线解决问题

一、单选题

1．（2022·福建三明·一模）下列各组图形中，不一定相似的是（       ）

A．任意两个等腰直角三角形 B．任意两个等边三角形

C．任意两个矩形 D．任意两个正方形

2．（2020·浙江·模拟预测）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·福建三明·一模）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若DE＝7，EF＝10，则的值为（       ）

A． B． C． D．

4．（2020·河北·模拟预测）在图（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC分别按照图中所标注的数据进行裁剪，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（       ）

A．只有（1）中的与△ABC相似  B．只有（2）中的与△ABC相似

C．都与△ABC相似             D．都与△ABC不相似

5．（2021·福建·邵武市教师进修学校模拟预测）如图，在△ABC中，AC=3，BC=6，D为BC边上的一点，且∠BAC=∠ADC．若△ADC的面积为a，则△ABC的面积为(　　)

A． B． C． D．

6．（2018·河北·模拟预测）如图，在中，，点D与点A在直线的同侧，且，，点E是线段延长线上的动点，当和相似时线段的长为（       ）

A．3 B． C．3或 D．4或

7．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）如图，与位似，其位似中心为点，且为的中点，则与的面积比是（   ）

A． B． C． D．

8．（2021·广东阳西·二模）如图，在中，，两点在轴的上方，以点为位似中心，在轴的下方按的相似比作的位似图形．设点的对应点的坐标是，则点的坐标是（     ）

A． B． C． D．

9．（2021·广东南海·一模）如图，现有一等腰直角三角形的腰长为4，，将沿折叠，使的顶点恰好落在边的中点处，则线段的长度为（       ）

A． B． C． D．

10．（2021·广东罗湖·一模）如图，已知，，，将绕点沿逆时针方向旋转后得到，直线、相交于点，连接．则以下结论中：①∽；②；③为的中点；④面积的最大值为．其中正确的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．（2020·广东新丰·模拟预测）如图，正方形中，为上一点，是延长线上一点，且，连结，，，是中点，连结，设与相交于点．则4个结论：①；②；③；④若，则；正确的结论有　　个

A．4 B．3 C．2 D．1

12．（2020·广东·蛇口育才二中二模）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EFD=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边AB的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段AC与线段EF相交于点Q，射线ED与射线BC相交于点P，线段ED与AC交于点M．若AQ=4，PB=18，则MQ的长为（       ）

A． B．5 C．4 D．

二、填空题

13．（2018·广东禅城·中考模拟）与是位似图形，且对应面积比为4：9，则与的位似比为______．

14．（2018·广东龙岗·中考模拟）已知，则=_____．

15．（2015·广东濠江·一模）如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为____m．

16．（2021·广东福田·一模）如图，在中，，，点是上一点，，连接，作于点，连接，若，则的面积为___．

17．（2021·广东坪山·一模）在中，，，CD为AB边上中线，于点E，连接AE交BC于点F、若，则___________．

18．（2021·广东·南山实验教育集团南海中学三模）如图，在矩形，，，为线段上的一动点，且和，不重合，连接，过点作交于，将沿翻折到平面内，使点恰好落在边上的点，则长为________．

19．（2019·广东·广州市第二中学一模）如图，将矩形ABCD点A逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边交CD边于点G，时，，，连接，，则______．

20．（2020·广东南海·二模）如图，在中，，，在边取一点，使，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，连接，过点作，交直线于点．给出以下四个结论：①≌；②；③；④．

其中正确的结论序号是______．

三、解答题

21．（2021·广东·广州市八一实验学校二模）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△BPD．

22．（2020·广东东莞·一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝．

（1）求证：△ADF∽△ACG；

（2）若＝，求的值．

23．（2021·广东·执信中学三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的圆O交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F

（1）请按照题意只用圆规和直尺补充好图形

（2）求证：FD是圆O的切线；

（3）若BC＝4，FB＝8，求AB的长．

24．（2019·广东揭阳·一模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．

(1)图中相似三角形共有_____对；

(2)证明：AM2＝MN•MP；

(3)若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．

25．（2021·广东普宁·一模）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边和边的延长线交于点，，与边交于点，垂足为点，连接、．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求出的长．

26．（2021·广东阳西·二模）如图，在Rt中，，，，点在线段上，且，以点为圆心，为半径的交线段于点，交线段的延长线于点．

（1）求证：是⊙O的切线；

（2）求证：．

27．（2020·广东·珠海市第九中学二模）如图，在中，，平分交于点，将绕点逆时针旋转到的位置，点在上，连结交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

28．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：

①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点M．交BC于点N；

②再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；

③作射线BG交AD于F；

④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；

⑤连接EF，PD．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=8，AD=10，∠ABC=60°，求DP的长．

29．（2021·广东花都·三模）△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D为△ABC所在平面内一点．

(1)若∠BAC＝120°，

①如图1，当点D在BC边上，BD＝AD，求证：DC＝2BD；

②如图2，当点D在△ABC外，∠ADB＝120°，AD＝2，BD＝4，连接CD，求CD的长；

(2)  如图3，当点D在△ABC外，且∠ADB＝90°，以AD为腰作等腰三角形△ADE，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，直线DE交BC于点F，求证：点F是BC中点．

30．（2021·广东越秀·一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝10，CD＝15，点E，F分别为线段AB，CD上的动点，连接EF，过点D作DG⊥直线EF，垂足为G．点E从点B向点A以每秒2个单位的速度运动，同时点F从点D向点C以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E，F同时停止运动，设点E的运动时间为t秒．

(1)求BC的长；

(2)当GE＝GD时，求AE的长；

(3)当t为何值时，CG取最小值？请说明理由．

31．（2021·广东光明·二模）如图，矩形中，，，点为的中点，点是边上一点（不与，重合），连接，交于点．点，关于对称，点，关于对称，连接．

（1）求证：.

（2）①当时，_______；

②求的最小值．

（3）是否存在点，使点，重合？若存在，请求出此时，的距离；若不存在，请说明理由．