专题10 反比例函数-备战2022年中考数学母题题源解密（广东专用）（原卷版）

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专题10 反比例函数【母题题文1】（2021·广东广州·中考真题）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则________（填“＜”或“＞”或“＝”）．【母题题文2】（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为________．【母题题文3】（2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ）A． B． C． D．【母题题文4】（2021·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数图象的一个交点为．（1）求m的值；（2）若，求k的值．                   【母题题文5】（2021·广东深圳·中考真题）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？同学们有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，再探究根的情况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么，①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图像表达；③请直接写出当结论成立时k的取值范围.                      反比例函数的概念定义形如________(k≠0，k为常数)的函数叫做反比例函数，其中x是________，y是x的函数，k是________关系式y＝或y＝kx－1或xy＝k(k≠0)防错提醒(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数值y≠0        反比例函数的图象与性质(1) 反比例函数的图象呈现形式 反比例函数y＝  (k≠0)的图象是________ 对称性 它既是关于________对称的中心对称图形，也是轴对称图形，其对称轴为第一、三象限或第二、四象限坐标轴夹角的平分线，即直线y＝x或直线y＝－x  (2)反比例函数的性质 函数图象所在象限性质y＝(k≠0)k>0一、三象限(x，y同号)每个象限内y随x增大而减小k<0二、四象限(x，y异号)每个象限内，y随x增大而增大(3)反比例函数比例系数k的几何意义k的几何意义反比例函数图象上的点(x，y)具有两数之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|推导如图，过双曲线上任一点P作x轴，y轴的垂线段PM、PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|. ∵y＝，∴xy＝k，∴S＝|k|拓展过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数  反比例函数的应用求函数关系式方法步骤利用待定系数法确定反比例函数：①根据两变量之间的反比例关系，设y＝；②代入图象上一个点的坐标，即x、y的一对对应值，求出k的值；③写出关系式反比例函数与一次函数的图象的交点的求法求直线y＝k1x＋b(k≠0)和双曲线y＝的交点坐标就是解这两个函数关系式组成的方程组题型、技巧归纳考点1：反比例函数的概念技巧归纳：判断点是否在反比例函数图象上的方法有两种：一是口算选项中点的横坐标与纵坐标乘积是否都等于比例系数，二是将选项中点的坐标诸个代入反比例函数关系式，看能否使等式成立．考点2：反比例函数的图象与性质技巧归纳：1、比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．2、过反比例函数y＝的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k|，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．考点3反比例函数的应用技巧归纳：先根据双曲线上点C的坐标求出m的值，从而确定点C的坐标，再将点C的坐标代入一次函数关系式中确定n的值，在求出两个函数关系式后结合条件可求出三角形的面积．过反比例函数y＝的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k|，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题． 一、单选题1．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）如果反比例函数的图象经过点，则下列各点可能在此图像上的是（    ）A． B． C． D．2．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学三模）双曲线y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　）A．k≤3 B．k＜3 C．k＞3 D．k≥33．（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）已知点、、都在反比例函数的图像上，则下列、、的大小关系为（　　　）A． B． C． D．4．（2021·湖北洪山·模拟预测）已知A（m+1，y1），B（3﹣m，y2）两点在图象y＝+2上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　）A．m＜1 B．m＞3C．1＜m＜3 D．﹣1＜m＜1或m＞35．（2020·广东·一模）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致为（    ）．A．  B．   C．   D．6．（2021·内蒙古赛罕·二模）如图，是等边三角形，且与x轴重合，反比例函数的图象经过点B，则的面积为（    ）
 A． B．12 C． D．7．（2021·内蒙古赛罕·二模）如图，若一次函数与反比例函数的图象交两点，过点B作轴，垂足为C，且，则不等式的解集为（ ）A．或 B．或C．或 D．或8．（2021·江苏·泰州中学附属初中三模）在平面直角坐标系中，一次函数 （b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线 分别交于点P、Q，则AP·BP的值是（    ）A．4 B．8 C．10 D．与b的取值有关9．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）如图，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时点P的坐标是（    ）A． B． C． D．10．（2021·重庆实验外国语学校三模）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，对角线，相交于点，双曲线经过点，交边于点，且，则的坐标为（    ）A． B． C． D．11．（2021·重庆·字水中学一模）如图，已知反比例函数 （k≠0）的图象经过矩形ABCD的对角线AC的端点A和C，AC交y轴于点F，BC边交y轴于点E，过线段FO中点G的直线与AC平行，连接AE，若∠BAE=∠ACB，．则k的值为（     ）A．－24 B．－16 C．－36 D．－1212．（2021·重庆一中三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边交轴于点，反比例函数（，）的图象经过上的两点，．若，，平行四边形的面积为7，则的值为（ ）A． B． C．2 D． 二、填空题13．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）已知反比例函数，若x≥2，则y的取值范围为______． 14．（2021·贵州红花岗·二模）已知点在双曲线上，点在直线上，则的值为______． 15．（2021·广东·西关外国语学校一模）反比例函数的图象上有一点P（2，n），将点P向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝___________． 16．（2021·上海嘉定·二模）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外一个交点的纵坐标为，那么常数k的值是__________．  17．（2021·陕西金台·一模）如图，点A和点B分别是反比例的数y＝（x＞0）和y＝（x＞0），AB⊥x轴，点C为y轴上一点则m﹣n的值为_________． 18．（2021·山东芝罘·模拟预测）如图，点A是反比例函数图象上一点，连接OA交的图象于点B，且AB=OB，过点A作x轴的平行线交于点C，点D是x轴负半轴上一点，若OA恰好平分∠COD，且点A的横坐标为－4，则的值为__________． 19．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）如图，一条过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点．若四边形的面积为6，则该反比例函数的表达式为________．20．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，点在的正半轴上，且于点，将线段绕点逆时针旋转到的位置，且点的坐标为．若反比例函数的图象经过点，则________．21．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象分别与矩形两边，交于点，，沿直线将翻折得到，且点恰好落在直线上．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有 __________．（仅填代号即可）  22．（2021·江苏·连云港市新海实验中学三模）如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，tan∠CAB=2，则k的值为_________. 23．（2021·福建·厦门市湖滨中学二模）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将△DBE翻折得到△DFE，且点F恰好落在直线OA上．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有_________．（仅填序号即可） 24．（2021·江苏新吴·二模）如图，菱形中，，顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，且经过点O．若，则菱形面积的最小值是________．     三、解答题25．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点在轴负半轴上，点，连接、、、，四边形为菱形．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）设点是直线上一动点，且，求点的坐标．      26．（2021·广东·广州市第二中学三模）如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点与点关于原点对称，直线与双曲线交于，两点．（1）求双曲线的解析式；（2）当四边形为矩形时，求的值．        27．（2021·广东·广州市第三中学三模）在抗击新冠病毒期间，某公司为了员工们的身心健康，在休息日用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物释放过程中，y与x成反比例，如图所示，根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物燃烧到释放过程中，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低到0.45毫克以下时，人员方可入室，那么从药物燃烧开始，至少需要经过多少分钟后，人员才能进入教室？       28．（2021·广东·铁一中学二模）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于、，为上一点且为的中位线，的延长线交反比例函数（）的图象于点，．（1）求点和点的坐标；（2）求的值和点的坐标．        29．（2021·广东·江门市第二中学二模）如图①，已知点A（-2，0），B（0，-4），平行四边形ABCD的AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，反比例函数的图象经过C、D两点．（1）求反比例函数解析式；（2）如图②，延长DC，交x轴与点F，连接OC，在反比例函数的图象是否存在点P，使得S△PCE=S△OCF？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．    30．（2021·广东·珠海市紫荆中学一模）如图1，已知直线分别与双曲线、（）交于、两点，且．（1）求的值；（2）如图2，若点是双曲线上的动点，轴，轴，分别交双曲线（）于点、，连接．请你探索在点运动过程中，的面积是否变化？若不变，请求出的面积；若改变，请说明理由；（3）如图3，若点是直线上的一点，请你进一步探索在点运动过程中，以点、、、为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点的坐标；若不能，请说明理由．31．（2021·广东梅州·二模）如图1，点、点在直线上，反比例函数（）的图象经过点．（1）求和的值；（2）将线段向右平移个单位长度（），得到对应线段，连接、．①如图2，当时，过作轴于点，交反比例函数图象于点，则______．②连接，在线段运动过程中，能否是等腰三角形，若能，求所有满足条件的值，若不能，请说明理由．    32．（2021·广东高明·一模）如图，矩形的顶点，分别落在轴，轴的正半轴上，顶点，反比例函数的图象与，分别交于、，．（1）求反比例函数关系式和点的坐标；（2）如图2，平移直线，当与反比例函数只有一个交点时，求此交点坐标；（3）点在直线上，点是坐标系内点，当四边形为菱形时，求出点的坐标并判断点是否在反比例函数图象上．