专题19 锐角三角形函数-备战2022年中考数学母题题源解密（广东专用）（原卷版）

这是一份专题19 锐角三角形函数-备战2022年中考数学母题题源解密（广东专用）（原卷版），共14页。
专题19 锐角三角形函数【母题来源】2021年中考广东深圳卷【母题题文1】（2021·广东深圳·中考真题）计算的值为（       ）A． B．0 C． D．【母题来源】2021年中考广东卷【母题题文2】（2021·广东·中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．（1）若，求的周长；（2）若，求的值．      【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文3】（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（       ）A． B． C． D．【母题来源】2021年中考广东深圳卷【母题题文4】（2021·广东深圳·中考真题）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（       ）A． B． C． D．【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文5】（2021·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）．        1.直角三角形的边角关系（如图）     （1）边的关系（勾股定理）：AC2+BC2=AB2；     （2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900；     （3）边角关系： ①：②：锐角三角函数：  ∠A的正弦=；∠A的余弦= ,∠A的正切=注：三角函数值是一个比值．     2.特殊角的三角函数值．     3.三角函数的关系     (1) 互为余角的三角函数关系．        sin（90○－A）=cosA，  cos（90○－A）=sin A        tan（90○－A）= cotA    cot（90○－A）=tanA     (2) 同角的三角函数关系．         ①平方关系：sin2 A+cos2A=l         ②倒数关系：tanA×cotA=1         ③商数关系：      4.三角函数的大小比较     (1) 同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。     (2) 异名三角函数的大小比较①tanA＞SinA，由定义，知tanA=，sinA=；因为b＜c，所以tanA＞sinA②cotA ＞cosA．由定义，知cosA=，cotA=；因为 a＜c，所以cotA＞cosA．③若0○ ＜A＜45○，则cosA＞sinA，cotA＞tanA；若45○＜A＜90○，则cosA＜sinA，cotA＜tanA。    5.解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
　　③边角之间的关系：
　　　，，，
　　　，，.
　　④，h为斜边上的高.
知识要点：
　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.
　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解 解直角三角形的常见类型及解法 已知条件解法步骤Rt△ABC
 两
边两直角边(a，b)由求∠A，
∠B=90°－∠A，
 斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，
∠B=90°－∠A，
 一
边
一
角一直角边
和一锐角锐角、邻边
(如∠A，b)∠B=90°－∠A，
，锐角、对边
(如∠A，a)∠B=90°－∠A，
，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，
，知识要点：
　　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
　　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.7.解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
　　解这类问题的一般过程是：
　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
　　拓展：
　　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
　　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.　　　　　　　　　　　　　　　
　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
　　　　　　　　　　　　
　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 
知识要点：
　　1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.
　　2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：
　　　　　　
　　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.        一、单选题1．（2021·上海·一模）在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（       ）A． B． C． D．2．（2021·黑龙江建华·二模）如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长为 （       ）A． B． C． D．3．（2021·安徽·合肥一六八中学模拟预测）在中，，，，则的正切值为（       ）A．3 B． C． D．4．（2021·广东·广州市第二中学二模）江堤的横断面如图，堤高米，迎水坡的坡比是，则堤脚的长是（       ）米A．20 B． C． D．5．（2021·广东·中山一中模拟预测）如图，在菱形ABCD中，，，过点A作于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G，则△CFG的面积为（ ）A． B． C． D．  6．（2021·广东·广州市第十六中学二模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（       ）A． B． C． D．7．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，使得点恰好落在上，则线段的长为（    ）A． B．5 C． D．8．如图，等边，边长为8，点为边上一点，以为边在右侧作等边，连接，当周长最小时，的长度为（       ）A．1 B．2 C．4 D．89．如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（       ）A． B． C． D．10．（2019·广东海珠·中考模拟）某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树顶的仰角为60°，已知这段山坡的坡角为30°，如果树高为15米，则山高为（　　）（精确到1米，＝1.732）．A．585米 B．1014米 C．805米 D．820米11．（2021·广东深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线，交于点，，为上一动点，于点，于点，分别以，为边向外作正方形和，面积分别为，．则下列结论：①；②点在运动过程中，的值始终保持不变，为；③的最小值为6；④当时，则．其中正确的结论有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）如图，已知中，，，分别为，的中点，连结，过作的平行线与的角平分线交于点，连结，若，，则的正弦值为（       ）A． B． C． D．二、填空题13．（2021·广东花都·二模）已知∠A是锐角，且1﹣2sinA＝0，则∠A＝______．14．（2021·广东宝安·一模）如图，点A，B，C，D在正方形网格的格点上，连接AB、CD交于点P，则tan∠APC＝________________．15．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西70°方向上，轮船从处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西25°方向上，则灯塔与码头的距离是______海里．16．（2021·广东深圳·一模）若，那么的形状是_____．17．（2021·广东深圳·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为_____．18．（2020·广东深圳·一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，AB＝，sinB＝，反比例函数的图象经过点C以及边AB的中点D，则四边形OABC的面积为_____．19．（2020·广东·三模）如图，在平面直角坐标系中，将绕点O逆时针旋转60°后得到，依此方式，绕点O连接旋转20次得到，如果点A的坐标为（1，），那么点的坐标为_______．20．（2021·广东·广州市第二中学三模）如图所示，在和中，，，，连接、，将绕点旋转一周，在旋转的过程中，当最大时，______．三、解答题21．（2021·广东深圳·三模）计算：（）﹣2+2sin60°+||﹣（2π﹣2021）0．22．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）如图，已知中，（1）作的垂直平分线，且交于点，交于点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若，求的值．23．（2021·广东·珠海市紫荆中学桃园校区一模）如图，中，，点是线段延长线上一点，，垂足为，交线段于点，点在线段上，经过、两点，交于点.（1）求证：是的切线；（2）若，，，求的半径.    24．（2021·广东南沙·一模）如图，身高为1.6米的小明在距离一棵大树10米的点B处看大树顶端C的仰角为45°，在大树的另一边点A处看这棵大树顶端C的仰角度数为．（A、E、B在同一条直线上，忽略眼睛到头顶间距离．）（1）求大树的高度．（2）若点A与点B之间的距离为（10＋10）米，求的值．      25．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）如图，在平行四边形中，点为中点，连接并延长交延长线于点，连接、，若，（1）求证：四边形为矩形．（2）在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，求．   26．（2021·广东·东莞市东华初级中学模拟预测）如图，在中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连接，．（）若，，求的值；（）若，求直线的解析式．    27．（2021·广东·深圳市南山区太子湾学校二模）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试运用：如图（2），在△ABC中，点D是BC边上一动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC与DE相交于点F，在点D运动的过程中，当tan∠EDC＝时，求DE的长度；拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD，tan∠BAD＝，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2．求AD的长．  28．（2021·广东·广州大学附属中学一模）△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE=2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，求线段BN的取值范围．