人教A版（2019）必修二 高中数学 期中必考点05 复数（原卷版+解析版）

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例题1．已知复数z＝eq \f(a,2－i)＋eq \f(2－i,5)的实部与虚部的和为2，则实数a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
例题2 已知eq \f(z,1－i)＝2＋i，则eq \x\t(z)(z的共轭复数)为( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3＋i D．3－i
【解题技巧提炼】
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
题型二 复数的运算
例题1若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
例题2已知i为虚数单位，则eq \f(2＋i3－4i,2－i)＝( )
A．5 B．5i
C．－eq \f(7,5)－eq \f(12,5)i D．－eq \f(7,5)＋eq \f(12,5)i
【解题技巧提炼】
复数代数形式运算问题的解题策略
题型三 复数的几何意义
例题1设z＝－3＋2i，则在复平面内 eq \x\t(z)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
例题2设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
【解题技巧提炼】
1．准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up7(―→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up7(―→)).
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤
(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．
题型一 复数的有关概念
1．已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
3．已知i为虚数单位，复数z＝eq \f(1＋3i,2＋i)，则|z|＝________.
题型二 复数的运算
1．已知复数z的共轭复数为eq \x\t(z)，若eq \x\t(z)(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝( )
A．i B．－1＋i
C．－1－i D．－i
2．设z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝( )
A．0 B．eq \f(1,2)
C．1 D.eq \r(2)
题型三 复数的几何意义
1．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
3．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则eq \f(z1,z2)＝( )
A．1＋i B．eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i
C．1＋eq \f(4,5)i D．1＋eq \f(4,3)i
因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以eq \f(z1,z2)＝eq \f(2＋i,2－i)＝eq \f(2＋i2,5)＝eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i，故选B.
4．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若eq \(OC,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))＋μeq \(OB,\s\up7(―→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
一、单选题
1．若复数满足，则复数的实部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则的虚部为（ ）
A．B． C．D．1
3．若，则（ ）
A．1B．C．D．
4．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知复数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知复数z满足，则在复平面内，z的共轭复数所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．设（i是虚数单位），则（ ）
A．1B．2C．D．
8．若，其中，i为虚数单位，则复数所对应复平面内的点Z位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、多选题
9．已知复数，以下结论正确的是（ ）
A．是纯虚数
B．
C．
D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限
10．设，，为复数，下列命题中错误的是（ ）
A．B．
C．若，则为纯虚数D．若，且，则
11．已知为虚数单位，复数，，，则（ ）
A．B．与互为共轭复数
C．为纯虚数D．
三、填空题
12．在复平面内，复数和对应的点分别是和，则_______.
13．已知复数（为虚数单位），则__________．
14．若复数在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_______．
四、解答题
15．已知复数（）在复平面上对应的点为，求实数取什么值时，点：
(1)在实轴上；
(2)在虚轴上；
(3)在第一象限.
16．设（），试判断复数能否为纯虚数？并说明理由.
17．若复数对应的点在虚轴上，求实数应满足的条件．
复数的加减法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式