人教A版（2019）必修二 高中数学 期中必考点07 空间点、直线、平面之间的位置关系及平行关系的判定与性质（学生版+解析版）练习题

必考点07  空间点、直线、平面之间的位置关系及平行关系的判定与性质

题型一  直线与平面平行的判定与性质

例题1如图，在四棱锥E­ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，点F为棱DE的中点．

证明：AF∥平面BCE.

例题2 如图，五面体ABCDE中，四边形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F是线段BC上一点，直线BC与平面ABD所成角为30°，CE∥平面ADF.

(1)试确定F的位置；

(2)求三棱锥A­CDF的体积．

【解题技巧提炼】

证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．

在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．

题型二  面面平行的判定与性质

例题1已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD∥BC，AD＝2BC，E，F分别为CC1，DD1的中点．

求证：平面BEF∥平面AD1C1.

例题2[如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD.请在图中作出平面α，使得DE⊂α，且BF∥α，并说明理由．

【解题技巧提炼】

证明面面平行的常用方法

1．利用面面平行的定义或判定定理．

2．利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．

3．利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．

题型三  平行关系的综合应用

例题1如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.

(1)求证：EF∥平面β；

(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．

【解题技巧提炼】

利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．

题型一  直线与平面平行的判定与性质

1.如图所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．求证：

(1)AD1∥平面BDC1；

(2)BD∥平面AB1D1.

2．如图，四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别是线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：

(1)AP∥平面BEF；

(2)GH∥平面PAD.

题型二  面面平行的判定与性质

1.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，点D1是B1C1的中点．

求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

2.如图所示，在四棱锥E­ABCD中，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

题型三  平行关系的综合应用

1.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；

(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．

一、单选题

1．下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点， M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是（       ）

A．①③ B．①②

C．①④ D．②③

2．如图，在正方体中，点在线段上运动，给出下列判断：

（1）直线平面

（2）平面

（3）异面直线与所成角的范围是

（4）三棱锥的体积不变

其中正确的命题是（       ）

A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（2）（4）

3．过直线外两点，作与平行的平面，则这样的平面（       ）

A．不可能作出 B．只能作出一个

C．能作出无数个 D．上述三种情况都存在

4．在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（       ）

A．平面与平面 B．平面与平面

C．平面与平面 D．平面与平面

二、多选题

5．（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（       ）

A． B．截面PQMN

C． D．异面直线与所成的角为

6．如图，在四棱锥中，、分别为、上的点，且平面，则（       ）

A． B．平面 C． D．

三、填空题

7．已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则αβ；

②若αβ，l⊂α，m⊂β，则lm；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，lγ，则mn.

其中所有真命题的序号为________.

8．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：

①平面DE；

②平面AF；

③平面平面AFN；

④平面平面NCF.

其中正确结论的序号是______.

四、解答题

9．如图，在正方体中，、分别为、的中点，与交于点.求证：

(1)；

(2)平面平面.

10．如图，在三棱柱中，D，E，F分别是棱，，的中点．求证：平面平面．

11．如图，三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：平面EFGH．

12．如图，四棱锥中，O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：平面DCF．

13．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.

14．如图，在直三棱柱中，点为的中点，，，.

(1)证明：平面.

(2)求三棱锥的体积.