专题05 （复数的概念）（解析版）-2021-2022学年高一数学下学期期末考试考前必刷题 （人教A版 2019必修二）

2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题 05

（复数的概念）

试卷满分：150分           考试时长：120分钟

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1．若复数满足，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】设，则，代入，根据复数相等的条件求出，再根据模长公式可求得结果.

【详解】设，则，

所以，即，

所以，，

所以.

故选：B

2（2021·江西宜春市·高安中学高二期末（文））设是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点在复平面内位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】化简可得，即可求得，可得复平面内对应的点的坐标，即可得答案.

【详解】因为

所以，

所以，在复平面内对应的点为（-2，-3），在第三象限.

故选：C

3．已知复数（其中为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点为（    ）

A．（3，4） B．（3，－4）

C．（4，3） D．（4，－3）

【答案】D

【分析】根据复数乘法的运算法则、结合共轭复数的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以复数的共轭复数，因此复数的共轭复数在复平面内对应的点为（4，－3）.

故选：D

4．已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．或 C． D．

【答案】B

【分析】

依题意复数的虚部为零，实部大于2，即可得到不等式，解得即可；

【详解】

解：因为，， ，所以，即，解得或

故选：B

5．设，其中，则下列命题中正确的是（    ）

A．复数z可能为纯虚数

B．复数z可能是实数

C．复数z在复平面上对应的点在第一象限

D．复数z在复平面上对应的点在第四象限

【答案】C

【分析】根据复数的实部和虚部的符号可确定复数z在复平面上对应的点的特征，从而可得正确的选项.

【详解】因为，，

故ABD均错误，C正确.

故选：C.

6．设复数（为虚数单位）.若对任意实数，，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由可知，令，即可求出的范围.

【详解】

因为对任意，，则,

，

，解得.

故选：C.

【点睛】

本题考查向量模的大小关系，以及不等式的恒成立问题，属于中档题.

7．已知复数满足，则（为虚数单位）的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用复数模长的三角不等式可求得的取值范围.

【详解】

，

由复数模长的三角不等式可得，

即，即，

因此，的取值范围是.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.

8．已知复数和满足，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设，由可得，设，则点和点距离为3，作图图象即可得解.

【详解】

设，

则表示点到点的距离是到点距离的倍.

则，

化简得：，

即复数在复平面对应得点为以为圆心，5为半径的圆上的点.

设，因为，所以点和点距离为3，

所以复数在复平面对应得点为以为圆心，2为半径的圆即以为圆心，8为半径的圆上构成的扇环内（含边界），如图所示：

表示点和原点的距离，由图可知的最小为0，最大为.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是利用复数得几何意义，坐标化，设，得，进而可以利用数形结合解决问题，属于难题.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9．已知复数（其中为虚数单位），则（    ）

A．复数在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．可能为实数

C． D．的实部为

【答案】BC

【分析】

由可得，得，可判断A选项，当虚部，时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D选项.

【详解】

因为，所以，所以，所以，所以A选项错误；

当，时，复数是实数，故B选项正确；

，故C选项正确：

，的实部是，故D不正确.

故选：BC

【点睛】

本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.

10．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是

A．若复数，则 B．若复数满足，则

C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则

【答案】AC

【分析】

根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；

B选项，设复数，则，

因为，所，若，则；故B错；

C选项，设复数，则，

因为，所以，即，所以；故C正确；

D选项，设复数，，

则，

因为，所以，若，能满足，但，故D错误.

故选：AC.

【点睛】

本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.

11．下列命题中，正确的是（    ）

A．复数的模总是非负数

B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应

C．如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限

D．相等的向量对应着相等的复数

【答案】ABD

【分析】

根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．

【详解】

设复数，

对于A，，故A正确．

对于B，复数对应的向量为，

且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，

故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确．

对于B，复数对应的向量为，

且对于平面内的任一向量，其对应的复数为，

故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．

对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，

故C错．

对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确．

故选：ABD．

【点睛】

本题考查复数的几何意义，注意复数对应的向量的坐标为，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．

12．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是

A．的虚部为 B．

C．为纯虚数 D．的共轭复数为

【答案】ABC

【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.

【详解】

因为，

对于A：的虚部为，正确；

对于B：模长，正确；

对于C：因为，故为纯虚数，正确；

对于D：的共轭复数为，错误.

故选：ABC.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．复数，满足，，，则______.

【答案】

【分析】

将平方可求得，即可求出，开方即可.

【详解】

因为，，，

所以，即，

则，

则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查复数模的计算，属于基础题.

14．在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是_____.

【答案】

【分析】

根据复数的几何意义写出点的坐标，求出旋转后对应点的坐标，得其对应复数．

【详解】

复数对应的点，如图，绕原点按逆时针方向旋转到位置，，，∴，，即，点对应复数为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查复数的几何意义，旋转过程中线段长度保持不变，关键是求出新点对应的坐标，可得对应复数．

15．如果复数满足，则的最小值为______.

【答案】

【分析】

设，根据复数的几何意义求出在复平面内满足的轨迹，然后再利用两点间的距离公式即可求解.

【详解】

设，由，

则，即，

即复数在复平面内的点是以为圆心，以为半径的圆，如图：

，

即、两点间的距离，

圆心到点的距离，

所以到点的距离的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了复数的几何意义、考查了数形结合的思想，属于基础题.

16．若，且，则的最小值为_________．

【答案】

【分析】

由结合三角不等式可求得的最小值.

【详解】

由三角不等式可得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用三角不等式求解复数模的最值问题，考查计算能力，属于基础题.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17．（1）已知复数是纯虚数，求的模；

（2）已知，且，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据是纯虚数，求出，求出代数式的值即可；

（2）设，则，，得到，求出的取值范围即可．

【详解】

解：（1），

若是纯虚数，则，解得：，

故，

故；

（2）由题意设，则，，

故，

时，取最小值，最小值是1，

时，取最大值，最大值是5，

故的取值范围是，．

18．已知复数，当取何实数值时，复数是：

（1）纯虚数；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用，即可求解.

（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等即可求解.

【详解】

（1）若复数是纯虚数，则，解得，所以

（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得，

解得，即

19．已知复数

（1）若z为纯虚数，求实数m的值；

（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值

【答案】（1）1；（2），.

【分析】

（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．

（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．

【详解】

解：（1）为纯虚数，

且

（2）在复平面内的对应点为

由题意：，．

即实数的取值范围是．

而，

当时，．

20．已知复数.

（1）若对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；

（2）若是纯虚数，求m的值.

【答案】（1）（2）

【分析】

（1）实部大于零且虚部小于零得出m的范围；

（2）实部等于零且虚部不为零得出m的范围；

【详解】

（1）由题意可得，解得

（2）由题意可得，解得

21．已知复数．试求实数分别为什么值时，分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．

【答案】（1）；（2）且；（3）

【详解】

试题分析：当时，若z是实数，则虚部，若z是虚数，则虚部不等于0，若z是纯虚数，则实部为0，虚部不等于0，还要注意实部的分母的条件.

试题解析：解：（1）当为实数时，，

（2）当为虚数时，，

（3）当为纯虚数时，，

考点：复数

22．已知复数.

（1）化简：；

（2）如果，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由复数z求出，然后代入复数ω＝z2+34化简求值即可；

（2）把复数z代入，然后由复数代数形式的乘除运算化简求值，再根据复数相等的定义列出方程组，从而解方程组可求得答案．

【详解】（1） ∵， ∴,

∴.

（2）∵,

∴   解得：

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，考查了复数相等的定义，是基础题．