人教A版（2019）必修二 高中数学 期中必考点03 平面向量的应用（学生版+解析版）练习题

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必考点03 平面向量的应用

题型一 向量在平面几何证明问题中的应用
【例1】（1）四边形中，，，则这个四边形是（       ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
【答案】A
【解析】由题意，
即，且
故四边形为平行四边形
又
故
即四边形为菱形
故选：A
（2）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（       ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】B
【解析】延长AC，使得AC=CD，
则，
因为，所以，
因为，所以，
所以是等腰三角形，
所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分，
直线AM一定经过的内心.
故选：B.

【解题技巧提炼】用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
题型二 向量在物理中的应用
【例2】（1）物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（       ）
A．3N B． C．2N D．
【答案】C
【解析】由题得,
所以,所以,所以,
所以和大小相等，都为2.故选：C

（2）某人在静水中游泳时速度为4km/h，水的流向是由西向东，水流速度为2km/h，此人必须沿与水流方向成___________度角游泳，才能沿正北方向前进.
【答案】120
【解析】设表示人游泳的速度，表示水速，
由题意可知，若人能沿正北方向前进，则人游泳的速度与水速的合速度方向为正北，
因为，，所以，所以，
即此人必须沿与水流方向成120度角游泳，才能沿正北方向前进.

故答案为：.
【解题技巧提炼】用向量方法解决物理问题的“三步曲”

题型三 利用正弦定理、余弦定理解三角形
【例3】（2021•天津）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【解析】（1）中，，，
，，．
（2）中，由余弦定理可得．
（3）由（2）可得，
，，
．
【解题技巧提炼】
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
题型四 面积问题
【例4】（2021•新高考Ⅱ）在中，角，，所对的边长为，，，，．
（Ⅰ）若，求的面积；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】，
根据正弦定理可得，
，，
，，，
在中，运用余弦定理可得，
，
，
．
，
为钝角三角形时，角必为钝角，
，，
，，
三角形的任意两边之和大于第三边，
，即，即，，
为正整数，．
【解题技巧提炼】
1．求三角形面积的方法
(1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
题型五 判断三角形的形状
【例5】（1）在中，若，则的形状是
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】A
【解析】因为在中，满足，
由正弦定理知，代入上式得，
又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，
所以为钝角三角形，故选A.
（2）在△中，若满足，则该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
所以或，
因为，，
所以或，
所以或，
所以是直角三角形或等腰三角形，故选：D
【解题技巧提炼】
1．判断三角形形状的2种常用途径

2．判断三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
题型六 化简与证明
【例6】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S﹐且满足．
（1）求角C的大小；
（2）求的最大值．
【解析】（1）由题意可知．
所以．
因为，
所以；
（2）由已知


．
因为,
所以即时，取最大值.
所以的最大值是．
【解题技巧提炼】
解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值.或范围
题型七 解三角形的实际应用
【例7】（1）福建省宁德市2021届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学理试题）如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为（ ）

A． B．2
C．3 D．2
【答案】C
【解析】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，
则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，
则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，
则有＝，变形可得BC＝＝＝，
在中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，
则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，
则AB＝3．故选：.
（2）（2021•甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为　　

A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【解析】过作于，过作于，
则，，，，，，
，
则在中，，
在△中，由正弦定理知，，，
，
故选：．

【例8】已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
（参考数据：）
【解析】如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.

由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.
又由正弦定理得sin∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
【解题技巧提炼】
1.求解距离问题，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
2.高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．
3.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．


题型一 向量在平面几何证明问题中的应用
1．如图，在等腰梯形中，. 点在线段上运动，则的取值范围是(       )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，以AB中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，
则，，，，
易知，，故AD方程为：，
故设，
则，，
，
，
∵，
∴最小值为，最大值为，
∈.
故选：B.

题型二 向量在物理中的应用
2．加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500，则该学生的体重（单位：）约为（       ）（参考数据：取重力加速度大小为g=10，≈1.732）

A．81 B．87 C．89 D．91
【答案】B
【解析】设两只胳膊的拉力分别为，，，，
，
，解得．
学生的体重约为．
故选：B．
题型三 利用正弦定理、余弦定理解三角形
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
(1)求角A；
(2)若，BC边上的高为，求c.
【解析】(1)由已知条件得,
由正弦定理得，
∵，∴，∴，
又∵, ∴, ∴,∴;
(2)由三角形面积公式得
∵，，
∴，即，
由余弦定理得, 将代入可得，
解得或（舍去），
故.
题型四 面积问题
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且满足．
(1)求角C的大小；
(2)若，求的面积．
【解析】(1)由题意，，结合正弦定理
故
又，故
故，即，又

(2)由题意，又
故


即，又

由，
代入可得：


题型五 判断三角形的形状
5．的内角，，的对边分别为，，，若，，则的形状为（       ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不确定
【答案】C
【解析】因为，
所以
，
所以
则，即，故.
因为，，
所以，
当时，所以或.若，则.
若，则.
当时，（舍去），
因此的形状为直角三角形.
故选：C
题型六 三角形的最值或范围问题
6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
【解析】(1)由正弦定理得，
又∵，
∴，又∵，∴，∴，
故在中，；
(2)由余弦定理得：，
∴，
∴，当且仅当时取等号，
∴面积.当且仅当时取等号，
故面积的最大值为.
题型七 解三角形的实际应用
7．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000，速度为50.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（，）（       ）

A．7350 B．2650 C．3650 D．4650
【答案】B
【解析】如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，
则，所以，
在中，，
由正弦定理得，
则，
因为，
所以，
所以山顶的海拔高度大约为.
故选：B.

8．为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在中，，
所以，有，所以，
在中，，
由正弦定理，得，
在中，由余弦定理，得

，
所以，即两个基站A、B之间的距离为.
故选：D
9．当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿如图所示装置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ）

A．150° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】设竹竿与地面所成的角是，影子长为，由正弦定理得
，
所以，
因为，
所以当，即时，取得最大值，
所以竹竿与地面所成的角为时，影子最长，
故选：B


1．已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中点，因为，所以，故，所以，因为，因此,
故选：C.

2．在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（       ）
A．北偏西， B．北偏西，
C．北偏东， D．北偏东，
【答案】A
【解析】如图，船从点出发，沿方向行驶才能垂直到达对岸，

，，则，则，
因为为锐角，故，
故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸.
故选：A.
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则必为（       ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】因为，由正弦定理可得，即，
又因为，
所以，即，
因为，所以，
所以，所以为钝角三角形.
故选：A.
4．在中，若，，，则（       ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】，，，
，
由正弦定理可得，，
．
故选：D．
5．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，故可得，又因为a，b，c成等差数列，即，故可得，由余弦定理可得，
故选：A.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的面积为（          ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在△ABC中，，所以，
因为，，
所以△ABC的面积为.
故选：B
7．【多选】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（       ）
A．
B．
C．若，则的面积是15
D．若，则外接圆半径是
【答案】AD
【解析】依题意，设，所以，
A：由正弦定理得：，故选项A正确；
B：，
所以，故选项B错误；
C：若，则，所以，所以，
所以，故的面积是：，
故选项C错误；
D：若，则，所以，所以，
所以，则利用正弦定理得：的外接圆半径是：，
故选项D正确.     
故选：AD
8．【多选】已知点为外接圆的圆心，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】令，则，所以（舍）或，
所以，
所以.
故选：BD.
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，其中，，则S的最大值为______．
【答案】
【解析】由余弦定理知：，而，
所以，而，即，当且仅当时等号成立，
又，当且仅当时等号成立.
故答案为：
10．校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌时长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗.

【答案】##
【解析】，，故，
根据正弦定理：，即，，
，故.
故答案为：.
11．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40nmile/h，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距________nmile．

【答案】
【解析】由题意，，
，
由正弦定理，即，解得．
故答案为：．
12．如图，在中，点D是边上一点，

(1)求的大小；
(2)若的面积为，求边的长．
【解析】(1)，因为，
所以，
；
(2)由正弦定理可知：
，
因为的面积为，
所以，于是，
由余弦定理可知：
.
13．的内角，，的对边分别是，，，且，
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，且___，求的面积．从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答．
【解析】(1)中，由正弦定理及，
知，所以，
由余弦定理知，所以，所以，又，所以；
(2)选①
为的平分线，，所以，
因为，所以，即，
由余弦定理得，，所以，
解得或（舍，所以的面积；
选②
因为为的中点，，则，因为，
所以，
由余弦定理可得，即，
整理得，
由余弦定理得，，所以，
所以的面积．