人教A版（2019）必修二 高中数学 期中必考点01 平面向量的概念及运算 （学生版+解析版）练习题

必考点01  平面向量的概念及运算

题型一  平面向量的有关概念

例题1设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是(　　)

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2   D．3

例题2 给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；

③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误的命题的个数为(　　)

A．0   B．1

C．2   D．3

【解题技巧提炼】

向量有关概念的关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度．

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．

(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．

题型二  向量的线性运算

例题1(1)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b  B．a＋b

C.a－b  D.a－b

(2)(一题多解)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，则(　　)

A.＝12＋3  B．＝12－3

C.＝－12＋3  D.＝－12－3

例题2在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)

A．1  B．

C.  D.

【解题技巧提炼】

题型三  向量共线定理及应用

例题1设两个非零向量a与b不共线．

(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

【解题技巧提炼】

利用向量共线定理证明三点共线

若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．

[提醒]　(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量．

(2)证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．

题型一  平面向量的有关概念

1.给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中正确命题的序号是________．

2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)

A．a与λa的方向相反  B．a与λ2a的方向相同

C．|－λa|≥|a|  D．|－λa|≥|λ|·a

题型二  向量的线性运算

1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)

A.－  B．－

C.＋  D.＋

2.如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝________.

题型三 向量共线定理及应用

1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)

A．矩形　　　　　　　　 B．平行四边形

C．梯形  D．以上都不对

2．已知O为△ABC内一点，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三点共线，则t＝(　　)

A.  B．

C.  D.

3．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)

A．△ABC的内部   B．AC边所在直线上

C．AB边所在直线上   D．BC边所在直线上

一、单选题

1．下列结论中正确的是（       ）

①若且，则；

②若，则且；

③若与方向相同且，则；

④若，则与方向相反且.

A．①③ B．②③ C．③④ D．②④

2．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（       ）

A．＝ B． C．＞ D．＜

3．已知，是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（            ）

①，；②，；③，.

A．①② B．①③

C．②③ D．①②③

4．下列各式的结果一定为零向量的是（       ）

A． B．

C． D．

5．如图，向量，，，则向量可以表示为（       ）

A． B． C． D．

6．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．等边三角形中，，，与交于F，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

8．下列命题中，不正确的是（       ）

A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．向量与不共线，则与都是非零向量

C．若与共线，与共线，则与共线 D．“”的充要条件是且

三、填空题

9．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：

（1）有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________；

（2）存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________.

10．如图，根据图示填空：

（1）______；（2）______；

（3）______；（4）______；（5）______．

四、解答题

11．如图，设O是▱ABCD对角线的交点，则

(1)与的模相等的向量有多少个？

(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？

(3)写出与共线的向量．

12．在平行四边形中，，，设，．

(1)用，表示；

(2)用，表示．