湘教版（2019）必修 第一册6.4 用样本估计总体导学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册6.4 用样本估计总体导学案，共8页。
 6．4　用样本估计总体6．4.1　用样本估计总体的集中趋势 新课程标准解读核心素养1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)数据分析、数学运算2.理解集中趋势参数的统计含义数学运算、数学建模 中国体育彩票的种类有：超级大乐透、排列3、排列5、七星彩、地方体彩、足球彩票、竞彩、顶呱刮等等．体育彩票市场曾创造了无数的神话，相当一部分中奖者在谈及自己的中奖经历时都表示他们能够中奖，是经过长期研究体育彩票的统计量，用样本估计总体的集中趋势，然后得出较科学的“推测”结果．[问题]　你想知道他们研究哪些统计量才有助于科学“推测”的吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　统计学中的两个统计概念1．总体参数：是用来描述总体特征的指标，常见的总体参数有总体平均数、众数和中位数及总体方差等．2．统计量：是用来描述样本特征的指标，常见的统计量有样本平均数、样本方差等．统计学的基本思想是什么？提示：用样本统计量中的数据特征估计总体参数的数据特征．知识点二　平均数(均值)1．若样本容量为n，第i个个体是xi，则样本平均数＝．2．若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f1，f2，…，fn，则其平均数为＝x1f1＋x2f2＋…＋xnfn．3．分层抽样中总体均值μ的简单估计在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用Ni表示第i层(i＝1，2，…，L)的个体总数，则有N＝N1＋N2＋…＋NL.我们称Wi＝(i＝1，2，…，L)为第i层的层权，对i＝1，2，…，L，用i表示从第i层抽出样本的平均值，我们称＝W11＋W22＋…＋WLL是总体均值μ的简单估计．1．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．解析：＝6.答案：62．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：等待时间(分钟)[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25]频数48521 用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x＝________．解析：＝(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5.答案：9.5知识点三　众数、中位数1．众数：观测数据中出现次数最多的数是众数．2．中位数：将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是中位数．具体而言，当数据的个数是奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时，则中间两个数的平均数即为中位数．众数、中位数、平均数的比较 名称优点缺点众数①体现了样本数据的最大集中点；②容易计算①它只能表达样本数据中很少的一部分信息；②无法客观地反映总体的特征中位数①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；②容易计算，便于利用中间数据的信息对极端值不敏感平均数代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据的信息任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大　　　　 1．中位数一定是样本数据中的一个数吗？提示：不一定．一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数据就是中位数；如果有偶数个数据，则取中间两个数据的平均数才是中位数．2．一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？提示：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个．某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是(　　)环数5678910人数127631A.7，7　　　　　　　　　 B．8，7.5C．7，7.5  D．8，6解析：选C　从表中数据可知7环有7人，人数最多，所以众数是7；中位数是将数据从小到大排列，第10个与第11个数据的平均数，第10个数是7，第11个数是8，所以中位数是＝7.5.众数、中位数、平均数的计算[例1]　(链接教科书第230页例1)(多选)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示：甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26；乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11.则下面结论中正确的是(　　)A．甲的极差是29　　　　　 B．乙的众数是21C．甲的平均数为21.4  D．甲的中位数是24[解析]　把两组数据按从小到大的顺序排列，得甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37；乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23.故甲的最大值为37，最小值为8，则极差为29，所以A正确；乙中出现最多的数据是21，所以B正确；甲的平均数为x甲＝(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以C正确；甲的中位数为(22＋24)＝23，故D不正确．[答案]　ABC平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．　　　　 [跟踪训练]1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)A．85，85，85　　　　　　　 B．87，85，86C．87，85，85  D．87，85，90解析：选C　从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：选A　因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝1.故选A.分层抽样中总体均值u的简单估计[例2]　(链接教科书第231页例3)某地统计部门为了解企业员工的收入状况，决定进行抽样调查．估计该地共有产业工人大约50 000人，企业管理人员约1 000人，工人与管理人员的月工资收入差异比较大．该地统计部门用分层抽样的方法抽取产业工人500人，企业管理人员10人．被抽取的500名产业工人的人均月工资为5 328元，10名企业管理人员的人均月工资为8 426元，试估计这个地区企业员工的人均月工资．[解]　被抽取的500名产业工人的人均月工资为5 328元，故这500名产业工人的月工资总额为(5 328×500)元．同理，被抽取的10名企业管理人员的月工资总额为(8 426×10)元，所以被抽取的这510名企业员工的月工资总额为(5 328×500＋8 426×10)元．因此，被抽取的这510名企业员工的人均月工资(即样本的平均数为)≈5 389(元)．故估计该地区企业员工的人均月工资约为5 389元．总体均值u的简单估计已知将总体分为L层，每层的样本平均数为i(i＝1，2，…，L)，且第i层的层数为Wi＝(N为总体容量，Ni为第i层的样本容量)．则总体均值u的简单估计＝W11＋W22＋…＋WLL即为加权平均数(层权Wi为第i层的频率fi)．　　　　 [跟踪训练]　甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭．他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率．甲在网站A查到的好评率是98%，而乙在网站B查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的总好评率？解：好评率是由好评人数除以总评价人数得到的.98%的好评率意味着如果有100人评价，那么其中98%人给了好评．设在网站A评价该餐馆的人数为n1，其中给出好评的人数为m1；在网站B评价该餐馆的人数为n2，其中给出好评的人数为m2.由题目条件，＝98%，＝85%.综合A，B两个网站的信息，这家餐馆的总好评率应为，化简得＝0.98·＋0.85·.其中，和分别是各自的层权，总好评率等于相应的好评率与其层权乘积的和．所以除非再知道A，B两个网站评价人数的比例关系，否则并不能求出总好评率．由以上分析可知，当且仅当n1＝n2时，总好评率等于＝91.5%.平均数、中位数、众数的应用[例3]　(链接教科书第234页例4)据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资11 00010 0009 0008 0006 5005 5004 000 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少(精确到元)?(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．[解]　(1)平均数是：＝4 000＋(7 000＋6 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20)≈4 000＋1 333＝5 333(元)．中位数是4 000元，众数是4 000元．(2)平均数是＝4 000＋(26 000＋16 000＋5 000×2＋4 000＋2 500×5＋1 500×3＋0×20)≈4 000＋2 212＝6 212(元)．中位数是4 000元，众数是4 000元．(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．众数、中位数、平均数的意义(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大；(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．　　　　 [跟踪训练]　下表是五年级一、二两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)：一班1933262928333435333330二班2527292829302935293029(1)这两组数据的平均数，中位数和众数各是多少？(2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？解：(1)一班平均数：(19＋33＋26＋29＋28＋33＋34＋35＋33＋33＋30)÷11＝333÷11≈30.27(次)，一班数据从小到大排列为：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35，所以一班中位数为33次，33出现的次数最多，众数是33次；二班平均数：(25＋27＋29＋28＋29＋30＋29＋35＋29＋30＋29)÷11＝320÷11≈29.09(次)，二班数据从小到大排列为：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35，所以二班的中位数是29次，29出现的次数最多，所以二班的众数是29次．(2)运用平均数表示两个班的成绩更合适．1．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数C．中位数<众数<平均数  D．众数＝中位数＝平均数答案：D2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95.则这一组数据的众数和中位数分别为(　　)A．84，68  B．84，78C．84，81  D．78，81解析：选C　将所给数据按从小到大排列得68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两个数是79，83，它们的平均数为81，即中位数为81.3．(多选)下列说法中，正确的是(　　)A．数据2，4，6，8的中位数是4，6B．数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是解析：选BCD　数据2，4，6，8的中位数为＝5，显然A是错误的，B、C、D都是正确的．故选B、C、D.4．小玲家的鱼塘里养了2 500条鲢鱼，按经验，鲢鱼的成活率约为80%.现准备打捞出售，为了估计鱼塘中鲢鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次进行统计，得到的数据如下表： 鱼的条数平均每条鱼的质量/kg第一次捕捞201.6第二次捕捞102.2第三次捕捞101.8 那么，鱼塘中鲢鱼的总质量约是________ kg.解析：平均每条鱼的质量为＝1.8(kg)，因为成活的鱼的总数约2 500×80%＝2 000(条)，所以总质量约是2 000×1.8＝3 600(kg)．答案：3 600