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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质当堂检测题
展开3.2.2 奇偶性
课后篇巩固提升
合格考达标练
1.下列函数是奇函数的是( )
A.y= B.y=-3x2
C.y=-|x| D.y=πx3-x
答案D
解析先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.
2.下列说法中,正确的是( )
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0
C.既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R
D.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数
答案B
解析y=是偶函数,但函数与y轴没有交点,故A错误;
若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则由f(-x)=-f(x)得f(-0)=-f(0),即f(0)=0,故B正确;
若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),
则-f(x)=f(x),则f(x)=0,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误;
函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数,故D错误.故选B.
3.(2021四川乐山外国语学校高一期中)函数f(x)=的图象关于( )
A.x轴对称 B.y轴对称
C.坐标原点对称 D.直线y=x对称
答案B
解析∵函数f(x)=,定义域为{x|x≠±},定义域关于原点对称,
且f(-x)==f(x),
∴函数f(x)=为偶函数,图象关于y轴对称,故选B.
4.(多选题)(2021山东新泰一中高一期中)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是( )
A.这个函数有2个单调递增区间
B.这个函数有3个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值-7
答案BC
解析根据偶函数的图象关于y轴对称,可得它在定义域[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC.
5.已知函数g(x)=f(x)-x,其中y=g(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
答案C
解析∵g(x)=f(x)-x,f(2)=1,
∴g(2)=f(2)-2=1-2=-1.
∵y=g(x)是偶函数,∴g(-2)=f(-2)+2=-1,
∴f(-2)=-3.故选C.
6.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)= .
答案-26
解析令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.
因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,
所以h(-2)=f(-2)+8=18.
h(2)=-h(-2)=-18,
所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.
7.(2021浙江金华曙光学校高二期中)若函数f(x)=|x|(x-a),a∈R是奇函数,则a= ,f(2)= .
答案0 4
解析因为函数f(x)=|x|(x-a),a∈R是奇函数,
即f(x)+f(-x)=0,令x=1,
则f(1)+f(-1)=0,
即1-a+(-1-a)=0,解得a=0,故f(x)=x|x|,
则f(2)=4.
8.(2021江苏苏州高一期中)已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求f(2)和实数a的值;
(2)求方程f(x)=f(2)的解.
解(1)设x>0,则-x<0.
因为x≤0时,f(x)=-x2-4x,
则f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x2+4x,
因为f(-x)=-f(x)=-x2+4x,
所以f(x)=x2-4x=x2+ax,
所以a=-4,则f(2)=-4.
(2)原方程等价于
解得x=2或x=-2-2.
等级考提升练
9.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案B
解析f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.
10.(2021河北邯郸高三期末)已知g(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=g(x)+x2,若f(a)=2,f(-a)=2a+2,则a=( )
A.2 B.-1 C.2或-1 D.2或1
答案C
解析∵g(x)是奇函数,∴g(x)+g(-x)=0,
∴f(x)+f(-x)=2x2,而f(a)=2,f(-a)=2a+2,则4+2a=2a2,解得a=2或-1,故选C.
11.(2021陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
答案C
解析∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;
|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),
故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;
f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,
故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;
|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.
12.(多选题)(2021广东湛江二中高一期末)已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+x+a-2,则( )
A.a=2 B.f(2)=2
C.f(x)是增函数 D.f(-3)=-12
答案ACD
解析因为f(x)是R上的奇函数,故f(0)=a-2=0,得a=2,故A正确;
若x=2,则f(2)=4+2=6,故B错误;
当x≥0时,f(x)=x2+x在[0,+∞)上单调递增,利用奇函数的对称性可知,f(x)在(-∞,0]上单调递增,故f(x)是R上的增函数,故C正确;
f(-3)=-f(3)=-9-3=-12,故D正确.故选ACD.
13.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2++t,则t= ,f(-2)= .
答案-1
解析因为函数f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,即-02++t=0,解得t=-1.
所以f(x)=-x2+-1.
所以f(2)=-22+-1=-.
又函数f(x)为R上的奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=.
14.(2021山东临沂高一期中)已知函数y=f(x),y=g(x)的定义域为R,且y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2,则g(-2)= .
答案2
解析因为y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,所以f(-2)+g(-2)=f(2)+g(2),f(-2)-g(-2)=g(2)-f(2),
两式相减可得f(2)=g(-2),若f(2)=2,
则g(-2)=2.
15.(2021山西运城高一期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)若f(x)在[-2,b)上有最大值,求实数b的取值范围.
解(1)根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数,
则f(0)=0,若x<0,则-x>0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,又由f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=x2+2x,
综上可得,f(x)=
(2)由(1)知f(x)=作出函数图象如图,
若f(x)在[-2,b)上有最大值,即函数图象在区间[-2,b)上有最高点,必有-2<b≤0或b>1,
故b的取值范围为(-2,0]∪(1,+∞).
新情境创新练
16.(多选题)(2021辽宁沈阳二中高一期中)已知f(x)在定义域R上为奇函数,满足f(x)=f(2-x),若f(1)=1,则下列判断正确的是( )
A.f(-1)=-1
B.f(3)=1
C.f(x)=f(x+4)
D.f(18)+f(19)+f(20)=-1
答案ACD
解析f(x)在定义域R上为奇函数,满足f(x)=f(2-x),即f(x)=f(2-x)=-f(-x),变形可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即f(x)=f(x+4),因此C正确;
若f(1)=1,则f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,故A正确,B错误;
f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0,
又f(x)=f(2-x),令x=0,可得f(2)=f(0)=0.
因为f(x)=f(x+4),所以f(18)=f(2)=0,
同理,f(19)=f(3)=-1,f(20)=f(0)=0,则f(18)+f(19)+f(20)=-1,D正确.故选ACD.
17.(2021江苏无锡高一期末)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.则函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为( )
A.(-1,2) B.(-1,-2)
C.(1,2) D.(1,-2)
答案A
解析设(a,b)为f(x)=x3+3x2图象的对称中心,则有y=f(x+a)-b=(x+a)3+3(x+a)2-b为奇函数.
设g(x)=(x+a)3+3(x+a)2-b,则g(x)为奇函数;
g(x)=x3+3(a+1)x2+3(a2+2a)x+a3+3a2-b,
又g(-x)+g(x)=0,可得3(a+1)x2+a3+3a2-b=0,所以解得
所以函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心的坐标为(-1,2).故选A.
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