高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
基本不等式(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列不等式中，正确的是(　　)A．a＋≥4        B．a2＋b2≥4abC．≥       D．x2＋≥2【解析】选D.a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．2．若0≤x≤6，则f(x)＝的最大值为(　　)A．    B．4    C．    D．【解析】选B.因为0≤x≤6，所以8－x>0，所以f(x)＝≤＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立．故f(x)的最大值为4.3．若f(x)＝x＋(x>2)在x＝n处取得最小值，则n＝(　　)A．    B．3    C．    D．4【解析】选B.由f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x－2＝>0，即x＝3时，取得等号．4．若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解析】选A.当a>0，b>0时，a＋b≥2，则当a＋b≤4时有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立．当a＝1，b＝4时满足ab≤4，但此时a＋b＝5>4，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．5．(2021·玉溪高一检测)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A．    B．2    C．2    D．4【解析】选C.由＝＋≥2，得ab≥2，当且仅当＝时取“＝”．6．已知x，y为正实数，且xy＝4，则x＋4y的最小值是(　　)A．4    B．8    C．16    D．32【解析】选B.由题意，正实数x，y且xy＝4，可得y＝，则x＋4y＝x＋≥2＝8，当且仅当x＝时，即x＝4时等号成立，所以x＋4y的最小值是8.二、填空题(每小题5分，共10分)7．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为______．【解析】y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.答案：08．若a，b是正实数且a＋b＝1，则＋的最小值为________．【解析】因为a＋b＝1，所以＋＝(＋)(a＋b)＝＋＋3≥2＋3＝3＋2，当且仅当，即a＝－1，b＝2－时，等号成立．答案：3＋2三、解答题(每小题10分，共20分)9．设a，b，c都是正数，求证＋＋≥a＋b＋c.【证明】因为a，b，c都是正数，所以，，也都是正数，所以＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，三式相加得2≥2(a＋b＋c).即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．10．(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．(2)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．【解析】(1)因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，所以xy＝(2x·3y)≤·＝·＝，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.(2)因为＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋9＝＋＋10，又因为x＞0，y＞0，所以＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．由得即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.(35分钟　70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知x>0，y>0，则“xy＝1”是“x＋y≥2”的(　　)A．充分不必要条件      B．必要不充分条件C．充要条件        D．既不充分也不必要条件【解析】选A.若xy＝1，由基本不等式，知x＋y≥2＝2；反之，取x＝3，y＝1，则满足x＋y≥2，但xy＝3≠1，所以“xy＝1”是“x＋y≥2”的充分不必要条件．2．当x>0时，函数f(x)＝有(　　)A．最小值1      B．最大值1C．最小值2      D．最大值2【解析】选B.因为x>0，所以f(x)＝≤1.3.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)A．≥(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)C．≤(a>0，b>0)D．≤(a>0，b>0)【解析】选D.由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．4．(多选题)规定：“”表示一种运算，即ab＝＋a＋b(a，b为正实数).若1k＝3，函数f(x)＝，1≤x≤4，则下列说法正确的是(　　)A．f(x)的最小值为3B．f(x)的最小值为2C．f(x)的最大值为D．f(x)的最大值为【解析】选AC.由题意得1k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)，故k的值为1.又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1时取等号，故函数f(x)的最小值为3.由函数单调性知：f(x)＝＝＝1＋＋在x＝4时有最大值为.二、填空题(每小题5分，共20分)5．函数y＝2x＋(x>1)的最小值为________．【解析】因为y＝2x＋(x>1)，所以y＝2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝2＋2.当且仅当x＝1＋时取等号，故函数y＝2x＋(x>1)的最小值为2＋2.答案：2＋26．定义运算“”：xy＝(x，y∈R，xy≠0).当x>0，y>0时，xy＋(2y) x的最小值为________．【解析】因为x>0，y>0，所以xy＋(2y) x＝＋＝＝≥，当且仅当＝，即x＝y时取等号．故xy＋(2y) x的最小值为.答案：7．已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，则a的最大值为________．【解析】a＝×a≤×(2a2＋b2＋1)＝×(3＋1)＝，当且仅当a＝，且2a2＋b2＝3，即a2＝1，b2＝1时，等号成立．故a的最大值为.答案：8．已知x，y∈R＋，且2x＋y＝4，则xy的最大值是________．【解析】因为x，y∈R＋，由基本不等式可得4＝2x＋y≥2，得xy≤2，当且仅当2x＝y，即x＝1，y＝2时，等号成立．因此xy的最大值是2.答案：2三、解答题(共30分)9．(10分)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求：(1)ab的取值范围．(2)a＋b的取值范围．【解析】(1)因为ab＝a＋b＋3≥2＋3，令t＝>0，所以t2－2t－3≥0所以(t－3)(t＋1)≥0.所以t≥3即≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．(2)因为ab＝a＋b＋3，所以a＋b＋3≤.令t＝a＋b>0，所以t2－4t－12≥0，所以(t－6)(t＋2)≥0.所以t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．10．(10分)(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值．(2)设0<x<，求函数y＝4x(3－2x)的最大值．(3)已知x>2，求x＋的最小值．【解析】(1)当x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．所以函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.(2)因为0<x<，所以3－2x>0，所以y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．因为∈.所以函数y＝4x(3－2x)的最大值为.(3)因为x>2，所以x－2>0，所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以x＋的最小值为6.11．(10分)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.【证明】(1)＋＋＝＋＋＝2，因为a＋b＝1，a>0，b>0，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，所以＋＋≥8.(2)方法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，所以＝＝5＋2≥5＋4＝9.所以≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).方法二：＝1＋＋＋.由(1)知，＋＋≥8，故＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立．