专题27 对数函数的单调性与特殊点-2022新高考高中数学二轮复习技巧之函数专题汇编

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对数函数的单调性与特殊点一．选择题（共13小题） 1．（2019•黑龙江）设，，，则　　A． B． C． D．【解析】解：，，．．故选：．2．（2007•全国卷Ⅰ）设，函数在区间，上的最大值与最小值之差为，则　　A． B．2 C． D．4【解析】解．，函数在区间，上的最大值与最小值之分别为，，，，，故选：．3．（2011•辽宁）设函数，则满足的的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：当时，的可变形为，，．当时，的可变形为，，故答案为，．故选：．4．（2019秋•衡阳县期末）函数的图象过定点　　A． B． C． D．【解析】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数，的图象．又函数的图象恒过点，由平移向量公式，易得函数，的图象恒过点，故选：．5．（2019秋•重庆期末）函数的单调递增区间为　　A． B． C． D．，【解析】解：由题意，此复合函数，外层是一个递减的对数函数令解得或由二次函数的性质知，在是减函数，在上是增函数，由复合函数的单调性判断知函数的单调递增区间故选：．6．（2019秋•潞州区校级期末）已知函数在，上为增函数，则的取值范围是　　A． B．， C． D．，【解析】解：由题意可得的对称轴为①当时，由复合函数的单调性可知，在，单调递增，且在，恒成立则②时，由复合函数的单调性可知，在，单调递增，且在，恒成立则此时不存在综上可得，故选：．7．（2019•遂川县校级模拟）已知函数的值域为，且在上是增函数，则的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】解：当时，△，解得或，在上是增函数，内层函数在上是减函数，且．即，且综上知实数的取值范围是故选：．8．（2019•榆林一模）已知定义域为的偶函数在，上是减函数，且，则不等式的解集为　　A． B． C． D．【解析】解：由题意知 不等式，即，又偶函数在，上是减函数，在，上是增函数，，或，，或，故选：．9．（2019秋•迎泽区校级月考）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是　　A．， B．， C． D．【解析】解：令，，在上单调递减，在区间内单调递增函数是减函数，且在上成立故选：．10．（2019春•尤溪县校级期中）函数，且的图象恒过定点，若点在直线上（其中，，则的最小值等于　　A．10 B．8 C．6 D．4【解析】解：令，求得，可得函数，且的图象恒过定点，若点在直线上（其中，，则，即．由基本不等式可得，即，即，当且仅当时，取等号．则，故选：．11．（2020秋•赛罕区校级期中）函数的单调递增区间是　　A． B． C． D．【解析】解：函数，可令或，则，由在递减，递增；在递增，可得函数的单调递增区间是．故选：．12．（2019•重庆校级模拟）若，则的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】解：当时，函数在它的定义域上是增函数，由于，故可得．当时，函数在它的定义域上是减函数，由于，故可得．综上可得的取值范围是，故选：．13．（2012•广东）下列函数，在区间上为增函数的是　　A． B． C． D．【解析】解：，在上为增函数，故在上为增函数，正确；，在，上为减函数；排除，在上为减函数；排除，在上为减函数，在上为增函数，排除故选：．二．多选题（共1小题）14．（2020秋•沙坪坝区校级月考）下列四个函数中过相同定点的函数有　　A． B． C． D．，【解析】解：函数，它经过定点，函数经过定点，函数经过定点，函数经过定点，故选：．三．填空题（共16小题）15．（2015•福建）若函数且的值域是，，则实数的取值范围是　，　．【解析】解：由于函数且的值域是，，故当时，满足．①若，在它的定义域上单调递增，当时，由，，，．②若，在它的定义域上单调递减，，不满足的值域是，．综上可得，，故答案为：，．16．（2019春•平罗县校级期末）函数的单调递减区间是　　．【解析】解：函数的定义域是，令的减区间为，，函数的单调减区间为．答案，17．（2020•中卫三模）已知函数，则不等式的解集为　　．【解析】解：当时，由得：，解得：，；当时，由得：，，综上所述，不等式的解集为，故答案为：18．（2019春•赫山区校级月考）函数的单调增区间是　　．【解析】解：由得或．令，则当时，为减函数，当时，为增函数函数．又是减函数，故在为增函数．故答案为：．19．（2019秋•辽源期末）函数且恒过定点　　．【解析】解：当，即时，，函数的图象恒过定点．故答案为：．20．（2019春•孝感期中）函数的单调递增区间是　　．【解析】解：由，可得，或．又，当时单调递减，单调递增，故函数单调递增区间是，故答案为：．21．（2019春•和平区校级期末）已知函数，若（a），则实数的取值范围是　　．【解析】解：，在上是增函数，，在上是增函数，在上是增函数又（a），解得．故答案为：．22．（2019秋•海淀区校级期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为　，　．【解析】解：且，函数在上单调递减，由复合函数的单调性可得：，解得：，故答案为：，．23．（2019春•船营区校级月考）函数的图象恒过定点　　【解析】解：对于函数，令，可得，，故函数的图象恒过定点，故答案为：．24．（2019秋•龙凤区校级期末）且，的取值范围为　，或　．【解析】解：，当 时，，故不等式成立．当 时，不等式即，，综上，的取值范围为，或，故答案为：，或．25．（2019秋•天心区校级期末）函数的单调递增区间是　　．【解析】解：根据对数函数的定义可得：函数的定义域为：，，令，则，由对数函数的性质可得：函数在定义域内是减函数，由二次函数的性质可得：的单调递减区间是，单调递增区间是，再根据复合函数的单调性是“同增异减”，所以函数的单调递增区间是．故答案为：．26．（2019秋•金凤区校级月考）已知函数的图象恒过定点，且函数在，上单调递减，则实数的取值范围是　，　【解析】解：函数的图象恒过定点，令，求得，，可得函数的图象经过定点，，．函数，在，上单调递减，，即，则实数的取值范围为，，故答案为：，．27．（2020•麒麟区校级二模）函数恒过点　或　．【解析】解：令得，或6，此时，所以函数过定点或，故答案为：或．28．（2019•三水区模拟）函数在，上的最大值和最小值之和为，则的值为　　．【解析】解：与具有相同的单调性．在，上单调，（1），即，化简得，解得故答案为：29．（2019•闵行区校级模拟）不等式的解是　　．【解析】解：不等式，即不等式，，故答案为：．30．（2019秋•雅安期末）函数且恒过定点　　．【解析】解：对于函数且，令，求得，，可得函数的图象经过．四．解答题（共3小题）31．（2019秋•钦州期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求的解析式；（2）解关于的不等式．【解析】解：（1）设，则当时，，又函数是奇函数．当时，综上所述（2）由（1）得不等式可化为时，，解得时，，满足条件时，，解得综上所述原不等式的解集为，或32．（2019秋•沭阳县期中）函数且的图象经过点和．（1）求函数的解析式；（2）函数，求函数的最小值．【解析】解：（1）由题意得，解得．（4分）所以．  （5分）（2）设，，则，即，（9分）所以当，即时，．   （12分）33．（2019秋•浦东新区校级期末）已知函数的图象恒经过与无关的定点．（1）求点的坐标；（2）若偶函数，，的图象过点，求、、的值．【解析】解：（1）令，可得，，可得函数的图象恒经过．（2），，，是偶函数，，．且有，求得，故．再根据它的图象经过定点，可得，．综上可得，，，．