专题12 直线与圆的位置关系 知识精讲 -【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

专题十二   直线与圆的位置关系

一 知识结构图

二.学法指导

1．直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．

2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．

3．坐标法解决问题的一般步骤

(1)建立适当的平面直角坐标系；

(2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标及曲线的方程；

(3)利用所学公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；

(4)反演回去，得到几何问题的结论．

三.知识点贯通

知识点1   直线与圆的位置关系

1.直线与圆的三种位置关系

2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断

例题1.已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：

(1)有两个公共点；

(2)只有一个公共点；

(3)没有公共点．

知识点二   直线与圆相切问题

圆的切线方程的求法

(1)点在圆上时

求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.

(2)点在圆外时

①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．

②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．

例题2：过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．

知识点三   直线与圆相交问题

求弦长常用的三种方法

(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．

(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．

(3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝.

例题3 .求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.

五 易错点分析

易错一  求直线方程

例题4.过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．