专题07 直线的倾斜角与斜率（知识精讲）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

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二.学法指导
1．求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
2．解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．
3．直线的倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
三.知识点贯通
知识点1 直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠_APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
例题1.求图中各直线的倾斜角．
(1) (2) (3)
【解析】 (1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.
(2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.
(3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，
∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.
① ② ③
知识点二 直线的斜率
(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．
(2)记法：k＝tan α.
(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
例题2： (1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于( )
A．1 B．5 C．－1 D．－5
(2)(如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率．
【解析】(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，
∴eq \f(y＋3,4－2)＝tan 135°＝－1，解得y＝－5.
(2)直线l1的倾斜角为α1＝30°，直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，
∴keq \s\d6(l1)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，keq \s\d6(l2)＝tan 120°＝－eq \r(3).
知识点三 直线的倾斜角和斜率的综合
斜率与倾斜角的对应关系．
例题3 .已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
【解析】如图所示，由题意可知kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
知识点四 直线的方向向量
1.若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量eq \(P1P2,\s\up8(→))的坐标为(x2－x1，y2－y1)．
2.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq \f(y,x).
例4. 经过A(0，y)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为(1,2)，则y＝________.
【解析】由条件可知，直线的方向向量为(－1－0,0－y)，即(－1，－y)．又(1,2)是直线的另一方向向量，则eq \f(－1,1)＝eq \f(－y,2)，解得y＝2.
五 易错点分析
易错一 求斜率的范围
例题5..已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围；
【解析】如图所示，由题意可知kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1.
要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
误区警示
求斜率的范围，要考虑倾斜角。
内 容
考点
关注点
直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
倾斜角的范围
直线的斜率
斜率的求解
直线的方向向量
坐标表示
图示
倾斜角
(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
α＝90°
90°＜α
＜180°
斜率
(范围)
0
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)