专题16 椭圆的简单几何性质（知识精讲）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

专题十六   椭圆的简单几何性质

一 知识结构图

二.学法指导

1．由标准方程研究性质时的两点注意

(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．

(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.

2．利用椭圆的几何性质求标准方程的思路

(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：

①确定焦点位置；

②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；

③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．

(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．

3．求椭圆离心率及范围的两种方法

(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．

(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．

4.代数法判断直线与椭圆的位置关系

判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则

Δ>0⇔直线与椭圆相交；

Δ＝0⇔直线与椭圆相切；

Δ<0⇔直线与椭圆相离．

5.解决椭圆的中点弦问题的两种方法

(1)方程组法

通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解．

(2)点差法

设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点(x0，y0)和斜率kAB有关的式子，可以大大减少运算量．我们称这种代点作差的方法为“点差法”，事实上就是椭圆的垂径定理．

利用kAB＝＝－·＝－·，转化为中点(x0，y0)与直线AB的斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法．

三.知识点贯通

知识点1   由椭圆方程研究几何性质

例题1.求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．

【解析】　把已知方程化成标准方程为＋＝1，

所以a＝4，b＝3，c＝＝，

所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；

离心率e＝＝；

两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)；

四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．

知识点二   由几何性质求椭圆的方程

例题2：求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；

【解析】　(1)若焦点在x轴上，则a＝3，

∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.

∴椭圆的方程为＋＝1.

若焦点在y轴上，则b＝3，

∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.

∴椭圆的方程为＋＝1.

∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．

如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，

OF为斜边A1A2的中线(高)，

且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，

∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，

故所求椭圆的方程为＋＝1.

知识点三   求椭圆的离心率

(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．

(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．

例题3 .设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．

【解析】　由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2＋y2＝c2上．

又点P在椭圆上，所以圆x2＋y2＝c2与椭圆＋＝1有公共点．

连接OP(图略)，则易知0＜b≤c＜a，

所以b2≤c2＜a2，即a2－c2≤c2＜a2.

所以≤c2＜a2，所以≤e＜1.所以e∈.

知识点四  直线与椭圆的位置关系

直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：

联立消去y得一个关于x的一元二次方程．

例题4．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点．

【解析】直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0　①.

方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．

(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

知识点五   弦长和中点弦问题

设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有

|AB|＝＝·

＝·(k为直线斜率)．

例题5过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分．

(1)求此弦所在的直线方程；

(2)求此弦长．

【解析】(1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得

(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.

又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1，x2是方程的两个根，

于是x1＋x2＝.

又M为AB的中点，∴＝＝2，

解得k＝－.

故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

又M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.

又A，B两点在椭圆上，

则x＋4y＝16，x＋4y＝16.

两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.

于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.

∴＝－＝－，

即kAB＝－.

又直线AB过点M(2,1)，

故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得x2－4x＝0，

∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，

∴|AB|＝·

＝·＝2.

知识点六    与椭圆有关的综合问题

例题6.　椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2,0)，且离心率为.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】　(1)由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，又e＝＝，得c＝.

由a2－b2＝c2得b2＝a2－c2＝2.

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

(2)若存在点Q(m,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°，

则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2.

等价于k1＋k2＝0.

依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)．

由，

得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0.

因为直线l与椭圆C有两个交点，所以Δ＞0.

即(16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，解得k2＜.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，

y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，

令k1＋k2＝＋＝0，

(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，

当k≠0时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，

化简得，＝0，

所以m＝1.

当k＝0时，也成立．

所以存在点Q(1,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°.

五 易错点分析

易错一  由椭圆的方程研究椭圆性质

例题7.椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　)

A．相同的焦点　 B．相同的顶点

C．相同的离心率              D．相同的长、短轴

【答案】C　

【解析】在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.

误区警示
由椭圆的方程判断焦点的位置，谁的分母大，焦点就在那个轴上。

易错二 由椭圆的性质求参数的范围

例题8.设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当焦点在x轴时，

，

当焦点在y轴时，

所以实数的取值范围是.

故选：D.

错误区警示

由椭圆的方程不能确定焦点的位置时，要分情况讨论。