专题17 双曲线及其标准方程（知识精讲）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

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专题十七   双曲线及其标准方程 一 知识结构图内  容考点关注点 双曲线及其标准方程双曲线的定义定义运用双曲线的标准方程 由方程确定焦点位置、求方程 二.学法指导1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S＝×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积．(2)利用公式＝×|F1F2|×|yP|求得面积．3．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．三.知识点贯通知识点1   求双曲线的标准方程 焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2 例题1.根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点A；(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；【解析】　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20. ①∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1. ②由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1.法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为－＝1.知识点二   双曲线定义的应用双曲线的定义文字语言平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.符号语言||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)焦点定点F1，F2焦距两焦点间的距离例题2：△ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则＝(　　)A．　　　B．±　　　C．－　　　D．±【答案】D　【解析】在△ABC中，sin A＝，sin B＝，sin C＝＝(其中R为△ABC外接圆的半径)．∴＝＝.又∵|BC|－|AC|＝±8，∴＝±＝±.知识点三   与双曲线有关的轨迹问题双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.例题3 .如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．【解析】　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)，∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.即所求轨迹方程为－＝1(x>)．五 易错点分析易错一  求双曲线上一点到焦点的距离例题4.已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离。[解]　由双曲线的标准方程－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5。由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，∴|10－|PF2||＝6。解得|PF2|＝4或|PF2|＝16误区警示
求双曲线上一点到焦点的距离，要注意双曲线定义的运用，距离差的绝对值。