专题12 直线与圆的位置关系 核心素养练习 -【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

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考点一 数学运算-求直线与圆的方程
例题5、已知圆C经过点A(2,0)，B(1，－eq \r(3))，且圆心C在直线y＝x上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))的直线l截圆所得弦长为2eq \r(3)，求直线l的方程．
【解析】 (1)AB的中点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(\r(3),2)))，AB的斜率为eq \r(3).可得AB垂直平分线方程为2eq \r(3)x＋6y＝0，与x―y＝0的交点为(0,0)，圆心坐标(0,0)，半径为2，
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，
∴直线l的方程为y－eq \f(\r(3),3)＝k(x－1)，
即y＝kx＋eq \f(\r(3),3)－k，
则圆心(0,0)到直线的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)－k)),\r(1＋k2))，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2eq \r(3)，
则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)－k)),\r(1＋k2))))eq \s\up12(2)＋(eq \r(3))2＝4，解得：k＝－eq \f(\r(3),3)，
则直线l的方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(2\r(3),3).
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意．
∴直线l的方程为x＝1或y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(2\r(3),3).
考点二 数学建模-直线与圆位置关系的综合
例题6.一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
【解析】 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为eq \f(x,7)＋eq \f(y,4)＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝eq \f(|28|,\r(42＋72))＝eq \f(28,\r(65))，而半径r＝3，
因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．
二、学业质量测评
一、选择题
1．1．经过点的圆的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
，
在圆上，且，
过的切线斜率为.
过的切线方程为：，即.
故选:D.
2．过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
根据题意，设，圆的圆心为，半径，
有，
则，
则以为圆心，为半径为圆为，即，
公共弦所在的直线即直线，
则，变形可得；
即直线的方程是；
故选：B.
3．直线和圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【详解】
圆心到直线的距离
即直线和圆相交
故选：A
4．圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（ ）
A．2B．2C．2D．4
【答案】B
【详解】
令y＝0，可得x2+4x+1＝0，
所以，，
所以.
故选：B
5．设直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【详解】
如图，
直线的倾斜角为，当直线与半圆相切时，直线在轴上的截距为.
要使直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是，.
故选：D.
6．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【详解】
根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，
设反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线方程为，即，
又由反射光线与圆相切，可得，
整理得，解得或.
故选：D.
7．(多选题)直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系可能是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．不能确定
【答案】AB
【详解】
根据直线与圆位置关系的确定，有一个公共点时相切，有两个公共点时相交．相离时无公共点．
故选：AB．
8．(多选题)已知圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0与直线x－y＝1，则（ ）
A．圆心坐标为(1，－2)
B．圆心到直线的距离为
C．直线与圆相交
D．圆的半径为
【答案】AD
【详解】
把圆的方程化为标准形式得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝，直线与圆相切．
故选：AD
二、填空题
9．已知直线：12x－5y＝3与圆x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
【答案】4
【详解】
把圆的方程化成标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9，所以圆心坐标为(3，4)，半径r＝3，所以圆心到直线12x－5y＝3的距离d＝＝1，则|AB|＝2＝4.
故答案为：
10．过点P(2，1)作圆x2＋(y－2)2＝1的切线，则切线长为________．
【答案】2
【详解】
点P(2，1)到圆心(0，2)的距离为,
所以切线长为.
故答案为：2．
11．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为________．
【答案】相交
【详解】
直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)．
因为12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
所以点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，
所以直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．
故答案为：相交．
12．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+1）2＝1，直线l：y＝﹣x+2与x轴交于点A．若a＝1，则直线l截圆C所得弦的长度为__；若过l上一点P作圆C的切线，切点为Q，且，则实数a的取值范围是__．
【答案】
【详解】
当a＝1时，圆心C（1，0），r＝1，
则圆心C到直线l的距离d，
所以弦长＝22；
由题得圆心C（a，a﹣1），即有C在直线y＝x﹣1上运动，
不妨设P（﹣m，﹣m+2），过P作PB⊥x轴，则有|PA||PB|，
又因为|PA||PQ|，所以|PQ|＝|PB|，
因为PQ2＝PC2﹣r2＝（﹣m﹣a）2+（﹣m+2﹣a+1）2﹣1，
则有（﹣m+2）2＝（﹣m﹣a）2+（﹣m+2﹣a+1）2﹣1，
整理得m2﹣2m+2a2﹣6a+4＝0，
问题可转化为上述方程有解，
则＝22﹣4（2a2﹣6a+4）＝﹣8a2+24a﹣12≥0
解得a∈，
故答案为：．
三、解答题
13．已知圆，直线．
（1）当为何值时，直线与圆相切；
（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或.
【详解】
（1），所以圆心，半径为，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为：，
所以当时，直线与圆相切；
（2）圆心到直线的距离为：，
由几何法求弦长的公式可知：，
解得或，所以直线为：或．
14．已知某曲线的方程．
（1）若此曲线是圆，求a的取值范围，并指出圆心和半径；
（2）若，且与直线相交于M，N两点，求弦长．
【答案】（1），圆心为，半径为；（2）
【详解】
（1）若此曲线是圆，则，解得，
将方程化为标准方程形式为，
则圆心为，半径为；
（2）若，则圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，
则.
15．已知直线，圆．
（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点；
（2）当直线被圆截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时的值．
【答案】（1）证明见解析；（2），.
【详解】
（1）直线，必过直线与直线的交点．联立方程，解得，所以直线过定点．
，即点在圆内，
直线与圆C恒相交于两点.
（2）当直线被圆截得的线段最短时，直线垂直．
，直线l的斜率，则，解得．
此时，弦长.